[論文レビュー] Some examples of division symbol algebras of degree 3 and 5

Cristina Flaut, Diana Savin|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次数 $n$ の記号代数における積を計算するための効率的なアルゴリズムを提示し、MAGMA計算代数システムを用いて、サイクロトミック体上の次数3および5の除法記号代数の明示的例を構成している。主な貢献は、類体論とイデアル分解を用いたノルム条件の検証により、次数2を越えてその存在が長年未解決であったことを証明したことである。

ABSTRACT

In this paper we provide an algorithm to compute the product between two elements in a symbol algebra of degree n and we find an octonion non-division algebra in a symbol algebra of degree three. Starting from this last idea, we try to find an answer to the question if there are division symbol algebras of degree three. The answer is positive and we provide, using MAGMA software, some examples of division symbol algebras of degree 3 and of degree 5. Moreover, we will give some interesting applications of the symbol algebras in number theory.

研究の動機と目的

• 任意の次数 $n$ の記号代数における高速な乗算のための実用的アルゴリズムの開発。
• 次数3および5の除法記号代数が存在するかどうかを、よく知られたクaternionの場合を超えて調査すること。
• MAGMAを用いて、次数3および5の除法記号代数の明示的計算例を提供すること。
• 数論における記号代数、クンマー体、および類体論の関係を調査すること。
• 特に奇素数次数において、記号代数が分裂するか非除法的であるかの条件を特定すること。

提案手法

• 非可換乗法則 $yx = \xi xy$ を用いて、記号代数 $\left(\frac{a,b}{K,\xi}\right)$ 内の2つの元の積を計算する体系的なアルゴリズムを開発する。
• ケイリー＝ディクソン過程を応用して、オクタニオンを含む高次元代数を構成し、次数3記号代数における非除法的構造を分析する。
• 定理1.1を用いて記号代数が分裂するかどうかをテストする：$\left(\frac{a,b}{K,\xi}\right)$ は、$b$ が $K(\sqrt[n]{a})$ からのノルムである場合に限り分裂する。
• クンマー体 $L = K(\sqrt[q]{\alpha})$ における類体論とイデアル分解を用いて、$\left(\frac{\alpha, p^{h_L}}{K,\xi}\right)$ が非除法的である条件を特定する。
• MAGMAを用いてノルム方程式を計算し、数体における要素がノルムであるかどうかを検証することで、除法代数の性質を確認する。
• 有理整数環 $\mathbb{Z}[\xi]$ における素数の分解に関する定理1.2を応用し、有理素数がサイクロトミック体においてどのように分解されるかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数3の除法記号代数は存在可能であり、その場合の数論的条件は何か？
• RQ2 記号代数の次数 $n$ において、積をアルゴリズム的に計算する方法は何か？ これにより明示的構成が容易になる。
• RQ3 クンマー体と類数は、記号代数が分裂するか非除法的であるかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 オクタニオン代数は次数3の記号代数に埋め込めるか？ その場合、その代数の除法的性質にどのような含意があるか？
• RQ5 奇素数次数（例：5）において、除法記号代数の例を体系的に構成する方法はあるか？

主な発見

• MAGMAによるノルム方程式の検証を経て、次数3の除法記号代数の明示的例を構築した。具体的には、$\left(\frac{7,11}{\mathbb{Q}(\epsilon),\epsilon}\right)$、$\left(\frac{7,11+\epsilon}{\mathbb{Q}(\epsilon),\epsilon}\right)$、$\left(\frac{7,5}{\mathbb{Q}(\epsilon),\epsilon}\right)$、$\left(\frac{7,5+\epsilon}{\mathbb{Q}(\epsilon),\epsilon}\right)$ がその例である。
• 次数5においても、$\left(\frac{13,11}{\mathbb{Q}(\xi),\xi}\right)$ および $\left(\frac{13,11+\xi}{\mathbb{Q}(\xi),\xi}\right)$ といった除法記号代数の存在が、数体におけるノルム計算により確認された。
• $p$ がクンマー体 $L = K(\sqrt[q]{\alpha})$ で完全に分解する場合、$\left(\frac{\alpha, p^{h_L}}{K,\xi}\right)$ は非除法的であることが、イデアル類群の挙動に基づいて示された。
• 有限体上のすべての記号代数は、定理1.1におけるノルム条件を満たすため、分裂することが証明された。
• オクタニオン非除法代数が次数3の記号代数に埋め込まれており、このような代数が非除法的部分構造を含み得ることを示した。
• 記号代数における積の計算アルゴリズムにより、特に高次元の場合に代数的性質を効率的に検証できるようになった。