[論文レビュー] Some Formulas for Numbers of Restricted Words

Milan Janjić|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2017

semigroups and automata theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、初期の算術関数 $ f_0 $ の繰り返し逆変換を用いて整数の組成を $ k $ 部分に一般化する関数 $ c_m(n,k) $ を導入する。$ c_m(n,k) $ と部分ベル多項式、パスカル行列、および有限アルファベット上の制限付き語との関係を確立する。主な貢献は、サイズ $ N $ のアルファベットにおける語数の性質を $ N+1 $ に再帰的に拡張する転送法であり、$ c_m(n,k) $ を用いて制限付き語を数えることを可能にする。特定の $ f_0 $ に対して明示的な公式が導出されており、例えば $ f_0(1)=1 $ または $ n>1 $ のとき $ f_0(n)=1 $ である場合が含まれる。

ABSTRACT

We define a quantity $c_m(n,k)$ as a generalization of the notion of the composition of the positive integer $n$ into $k$ parts. We proceed to derive some known properties of this quantity. In particular, we relate two partial Bell polynomials, in which the sequence of the variables of one polynomial is the invert transform of the sequence of the variables of the other. We connect the quantities $c_m(n,k)$ and $c_{m-1}(n,k)$ via Pascal matrices. We then relate $c_m(n,k)$ with the numbers of some restricted words over a finite alphabet. We develop a method which transfers some properties of restricted words over an alphabet of $N$ letters to the restricted words over an alphabet of $N+1$ letters. Several examples illustrate our findings. Note that all our results depend solely on the initial arithmetic function $f_0$.

研究の動機と目的

• 標準的な整数の組成を、初期算術関数 $ f_0 $ の繰り返し逆変換を用いて一般化する関数 $ c_m(n,k) $ を開発すること。
• 部分ベル多項式との関係を確立し、$ c_m(n,k) $ が $ f_{m-1} $ から導かれる変数を持つ重み付き組成から生じることを示すこと。
• 下三角パスカル行列を用いた行列ベースの再帰的関係を導出し、$ c_m(n,k) $ と $ c_{m-1}(n,k) $ を関連づけ、再帰的計算を可能にすること。
• $ f_0 $ の構造に基づいて、サイズ $ N $ のアルファベットにおける制限付き語の性質を $ N+1 $ 文字のアルファベットに再帰的に拡張する一般化手法を提供すること。
• 特定の $ f_0 $、例えば $ f_0(1)=1 $ または $ n>1 $ のとき $ f_0(n)=1 $ である場合に、$ c_m(n,k) $ の明示的な組合せ的解釈と閉形式公式を提示し、それらを二進および三進語の数え上げと関連付けること。

提案手法

• 関数 $ c_m(n,k) $ は再帰的に $ c_m(n,k) = \sum_{i=1}^{n-k+1} f_{m-1}(i) c_m(n-i,k-1) $ で定義され、初期条件 $ c_m(0,0)=1 $、$ n>0 $ のとき $ c_m(n,0)=0 $ を満たし、標準的な組成を一般化する。
• $ c_m(n,k) = \frac{k!}{n!} B_{n,k}(1!f_{m-1}(1), 2!f_{m-1}(2), \ldots) $ を証明し、部分ベル多項式と重み付き整数組成との関係を確立する。
• 数列間の逆変換関係を用いて $ c_m(n,k) $ と $ c_{m-1}(n,k) $ を関連づけ、変換が下三角パスカル行列の乗算に対応することを示す。
• 式 (9) を用いて転送公式を導出し、$ c_m(n,k) = \sum_{t=0}^{n-k} {k+t-1 \choose t} c_{m-1}(n,k+t) $ と表し、$ m-1 $ から $ m $ への再帰的アップグレードを可能にする。
• $ f_0 $ の特定のケースに適用：$ f_0(1)=1 $ のとき、$ c_1(n,k) $ は $ \geq 2 $ の部分に分けた組成を数え、$ c_m(n,k) $ は $ \{0,1,\ldots,m\} $ 上の孤立した非ゼロ文字を持つ制限付き語を数える。
• 組合せ的双対写像と二項係数の恒等式を用いて、$ f_0(n)=1 $（$ n>1 $）の下で $ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor - k} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {n-k-j-1 \choose k+j-1} $ などの閉形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な $ k $ 部分への整数の組成の概念を、繰り返し逆変換を用いて重み付きまたは制限付き組成に一般化する方法は何か？
• RQ2 $ c_m(n,k) $ と部分ベル多項式の関係は何か？この関係が重み付き組成の組合せ的構造をどのように明らかにするか？
• RQ3 アルファベットサイズ $ N $ の制限付き語の性質を、$ f_0 $ の構造に基づいて $ N+1 $ 文字のアルファベットに体系的に拡張する方法は何か？
• RQ4 初期関数 $ f_0 $ が $ f_0(1)=1 $ や $ n>1 $ のとき $ f_0(n)=1 $ と与えられた場合に、$ c_m(n,k) $ の明示的な公式をどのように導出できるか？
• RQ5 パスカル行列と二項係数の恒等式は、$ m $ と $ k $ を変化させたときの $ c_m(n,k) $ の再帰的計算と構造的解析をどのように支援するか？

主な発見

• $ c_m(n,n) = f_{m-1}(1)^n $ を満たし、対角成分が $ (m-1) $ 番目の逆変換の最初の値にのみ依存することを示す。
• 式 (4) により $ c_m(n,k) = \frac{k!}{n!} B_{n,k}(1!f_{m-1}(1), 2!f_{m-1}(2), \ldots) $ が成り立つ。これは $ c_m(n,k) $ が変数 $ i!f_{m-1}(i) $ の正規化された部分ベル多項式であることを証明する。
• 式 (5) により $ c_m(n,k) = \sum_{i_1+\cdots+i_k=n} f_{m-1}(i_1)\cdots f_{m-1}(i_k) $ が成り立つ。これは $ c_m(n,k) $ が正の部分に分けた $ n $ の重み付き組成を数えることを意味する。
• $ f_0(1)=1 $ のとき、$ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor - k} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {n-k-j-1 \choose k+j-1} $ を導出し、孤立した非ゼロ文字を持つ制限付き語の閉形式を提供する。
• 系 29 では、$ f_0(n)=1 $（$ n>1 $）のとき、$ c_m(n,k) $ は長さ $ n-3 $ の $ \{0,1,\ldots,m\} $ 上の語を数え、そのうち $ k-1 $ 個の 1 がすべて孤立しており、連続する非ゼロ文字が存在しないことを示す。
• 系 31 では、$ f_0(2)=f_0(3)=1 $、$ f_0(n)=0 $（それ以外）のとき、$ c_m(n,k) = \sum_{j=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (m-1)^j {j+k-1 \choose k-1} {k+j \choose n-2k-2j} $ が成り立ち、孤立した非ゼロ文字で、0 の連続が 2 を超えない語を数える。