[論文レビュー] Some functional forms of Blaschke-Santaló inequality

Matthieu Fradelizi, Mathieu Meyer|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2006

Point processes and geometric inequalities参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対数凸関数およびラプラス変換に対して、ブラシュケ＝サントラルォ不等式の新しい関数的形を確立し、ボールの不等式を一般化するとともに、アルトシュタイン、クラルタッグ、ミルマンの結果を拡張する。ブロワーの不動点定理とプリェコパ＝ラインドル不等式を用いた新規な中心化技術により、関数とその双対関数の体積積が、関数がそのサントラルォ点に中心化されている場合に最大値をとることを証明し、等号成立は関数がガウス型、あるいは対称性の下で同等である場合に限る。

ABSTRACT

We establish new functional versions of the Blaschke-Santaló inequality on the volume product of a convex body which generalize to the non-symmetric setting an inequality of K. Ball and we give a simple proof of the case of equality. As a corollary, we get some inequalities for $\log$-concave functions and Legendre transforms which extend the recent result of Artstein, Klartag and Milman, with its equality case.

研究の動機と目的

• 対称関数に対するK. ボールの関数的不等式を非対称設定に一般化すること。
• アルトシュタイン、クラルタッグ、ミルマンによる凸関数のラプラス変換に関する最近の結果を、一般の対数凸関数へと拡張すること。
• 関数的形のブラシュケ＝サントラルォ不等式における等号成立条件を特定すること。
• 測度および凸体に対してブラシュケ＝サントラルォ不等式が成り立つ条件を確立すること、特に無条件および回転不変対数凸測度のクラスについて。

提案手法

• 関数 $ f $ を点 $ z $ に中心化した星型集合 $ K_z $ を定義し、積分条件 $ \int_0^\infty r^{n-1} f(z + rx) \, dr \geq 1 $ を用いる。
• ブロワーの不動点定理を用いて、$ K_{z_0} $ の重心が原点にあるような中心 $ z_0 $ の存在を示す。
• 幾何的平均に対するプリェコパ＝ラインドル不等式を適用し、$ f_1 $ と $ f_2 $ 間の双対性関係を導出し、包含関係 $ K_2 \subset c_n(\rho) K_1^\circ $ を得る。
• 得られた凸体に対して古典的ブラシュケ＝サントラルォ不等式を適用し、積分の積を評価する。
• 対称性およびステインァーの対称化の性質を用いて等号成立条件を証明し、等号成立は関数がガウス型、あるいは対称性の下で同等である場合に限ることを示す。
• 主不等式を凸関数のラプラス変換に適用し、体積積がガウス関数の場合のもので上から抑えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非中心化、対数凸関数に対して、関数的ブラシュケ＝サントラルォ不等式が成り立つ条件は何か？
• RQ2 関数 $ f $ 及びその双対関数の体積積を最大化する最適な中心 $ z $ は何か？
• RQ3 どのクラスの対数凸測度 $ \mu $ 及び可測集合 $ K $ に対して、不等式 $ \mu(K) \cdot \mu(K^\circ) \leq \mu(B_2^n)^2 $ が成り立つか？
• RQ4 凸関数のラプラス変換に対して、関数的ブラシュケ＝サントラルォ不等式の等号成立はいつ達成されるか？
• RQ5 積分条件および不動点論法を用いて、非対称凸体のサントラルォ点を効果的に特徴づけることは可能か？

主な発見

• 任意の対数凸関数 $ f $ 及びその双対関数 $ g $ に対して、関数的ブラシュケ＝サントラルォ不等式が成り立ち、積分の積は $ \left( \int_{\mathbb{R}^n} \rho(|x|^2) \, dx \right)^2 $ で上から抑えられる。ここで $ \rho $ は非増加な対数凸関数である。
• 等号成立は、$ f $ がガウス関数、あるいは関連する体が楕円体である場合に限る。
• 任意の無条件対数凸測度 $ \mu $ 及び無条件可測集合 $ K $ に対して、不等式 $ \mu(K) \cdot \mu(K^\circ) \leq \mu(B_2^n)^2 $ が成り立つ。
• 任意の回転不変対数凸測度 $ \mu $ 及び中心対称可測集合 $ K $ に対しても、同様の不等式が成り立つ。
• 不等式の最適中心 $ z_0 $ は、$ K_z $ の重心が原点にある点として特徴づけられ、$ \rho $ が強く凸である場合には一意的である。
• ラプラス変換版の不等式が成り立つ：ある $ z \in \mathbb{R}^n $ に対して $ \int \rho(\phi(x)) \, dx \cdot \int \rho(\mathcal{L}_z \phi(y)) \, dy \leq \left( \int \rho(|x|^2/2) \, dx \right)^2 $。