[論文レビュー] Some Lagrangians with Zeta Function Nonlocality

Бранко Драгович|ArXiv.org|May 4, 2008

advanced mathematical theories参考文献 29被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、自然数 n における p-進弦ラグランジアンの和として導かれるリーマン・ゼータ関数によって支配される時空の非局所性を持つ、非局所スカラー場理論のクラスを提案する。得られるラグランジアンはゼータ関数に基づく無限階微分を有し、多項式でないポテンシャルを生じ、ゼータ関数に基づく質量方程式によって決定されるタキオンスペクトルを示す。これは p-進および通常の弦ダイナミクスと関連するアデール的スカラー場理論の古典的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Some nonlocal and nonpolynomial scalar field models originated from p-adic string theory are considered. Infinite number of spacetime derivatives is governed by the Riemann zeta function through d'Alembertian $\Box$ in its argument. Construction of the corresponding Lagrangians begins with the exact Lagrangian for effective field of p-adic tachyon string, which is generalized replacing p by arbitrary natural number n and then taken a sum of over all n. Some basic classical field properties of these scalar fields are obtained. In particular, some trivial solutions of the equations of motion and their tachyon spectra are presented. Field theory with Riemann zeta function nonlocality is also interesting in its own right.

研究の動機と目的

• すべての自然数 n に一般化された p-進タキオンラグランジアンを用いて、アデール的スカラー弦の有効場理論を構築すること。
• リーマン・ゼータ関数によって支配される非局所性を持つスカラー場モデルの古典的場の性質を調査すること。
• これらのゼータ非局所場理論におけるタキオンスペクトルおよびポテンシャル構造の出現を調査すること。
• p-進弦ダイナミクスと統一的なアデール的場理論フレームワークを結ぶ橋渡しをすること。

提案手法

• 素数 p を n ≥ 2 に一般化することで、正確な p-進タキオンラグランジアンを任意の自然数 n に拡張する。
• すべての n ∈ ℕ におけるスケーリングされたラグランジアン L_n の和を構成し、n=1 における 1/(n−1) の発散を正則化するための係数 C_n を選ぶ。
• リーマン・ゼータ関数 ζ(s) を、ζ(□/(2m²)) や関連する組み合わせを通じて無限階微分非局所作用素の生成関数として用いる。
• ゼータ関数非局所項と多項式的および対数的自己相互作用を組み合わせることで、運動方程式およびポテンシャルを導出する。
• ゼータ関数方程式から導かれる自明な解、タキオンスペクトル、質量条件を含む、得られた場理論の解析を行う。
• 通常のボソン弦ラグランジアンを追加することで、ハイブリッドなゼータ-通常場理論を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての自然数 n に対して p-進弦ラグランジアンを体系的に一般化し、統一的な非局所場理論を構築する方法は何か？
• RQ2 ゼータ関数非局所性を持つスカラー場モデルの古典的場の性質（運動方程式、ポテンシャル、解など）は何か？
• RQ3 これらの非局所場理論におけるゼータ関数に基づく運動方程式から、タキオン質量スペクトルはどのように出現するか？
• RQ4 リーマン・ゼータ関数は、無限階微分非局所性を支配する役割を果たし、アデール的場理論にどのような意味を持つのか？
• RQ5 通常の弦ラグランジアンの組み込みは、ゼータ非局所場モデルの構造とスペクトルにどのように影響を及けるか？

主な発見

• ラグランジアン構成により、無限階微分がリーマン・ゼータ関数、特に ζ(□/(2m²)) や ζ(□/(2m²)−1) のような作用素を通じて支配される非局所スカラー場理論が得られる。
• ゼータ非局所モデルのポテンシャル (20) は φ=0 に局所的最大値を持ち、φ=1±0 で発散し、V(±∞)=−∞ となる。これは不安定性および可能なタキオン的振る舞いを示唆する。
• 運動方程式 (21) は自明解 φ=0 のみを許容し、その弱場近似 (22) は M²≈2.79m² および M²<−38m² の解を持つタキオン質量条件 (23) を導く。
• 拡張モデル (28) はゼータ非局所項と通常弦項を含み、ポテンシャル (29) は φ≈−0.6 と φ≈0.3 に二つの局所的最大値、φ=0 に局所的最小値を持つ。
• 質量スペクトル条件 (31) は正の質量解 M²≈2.67m² および M²≈4.66m² を得るほか、多数のタキオン状態を有する。
• ゼータ非局所ラグランジアンは逆プロセスにより個々の p-進ラグランジアンを再構成可能であり、p-進極限との整合性が示される。