[論文レビュー] Some New Results on the Cross Correlation of $m$-sequences

Tao Zhang, Shuxing Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ \gcd(r,3) = 1$ を満たす条件下で、周期 $3^{3r}-1$ の三値 $m$-系列に対して、$d = 3^r + 2$ および $d = 3^{2r} + 2$ のデシメーションにおける相互相関分布を特定し、周期 $2^{2lm}-1$ の二値 $m$-系列に対して、$d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ のデシメーションにおける相互相関特性を調査する。この調査により、少なくとも4つの値をとることを証明し、SarwateらとHellesethによる2つの主要な予想を確認する。

ABSTRACT

The determination of the cross correlation between an $m$-sequence and its decimated sequence has been a long-standing research problem. Considering a ternary $m$-sequence of period $3^{3r}-1$, we determine the cross correlation distribution for decimations $d=3^{r}+2$ and $d=3^{2r}+2$, where $\gcd(r,3)=1$. Meanwhile, for a binary $m$-sequence of period $2^{2lm}-1$, we make an initial investigation for the decimation $d=\frac{2^{2lm}-1}{2^{m}+1}+2^{s}$, where $l \ge 2$ is even and $0 \le s \le 2m-1$. It is shown that the cross correlation takes at least four values. Furthermore, we confirm the validity of two famous conjectures due to Sarwate et al. and Helleseth in this case.

研究の動機と目的

• 三値 $m$-系列の周期 $3^{3r}-1$ に対して、$\gcd(r,3) = 1$ の下で $d = 3^r + 2$ および $d = 3^{2r} + 2$ のデシメーションにおける相互相関分布を特定すること。
• 周期 $2^{2lm}-1$ およびデシメーション $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ の二値 $m$-系列の相互相関特性を調査すること。ただし $l \geq 2$ は偶数、$0 \leq s \leq 2m-1$ である。
• Sarwate らと Helleseth による長年の予想が、この新しいデシメーション枠組み内でも成立することを確認すること。
• 二値の場合に、相互相関関数が少なくとも4つの異なる値をとることを確立し、既知の3値境界を越える進展を図ること。

提案手法

• 相互相関関数は、Weilの和を用いて分析され、$ C_d(z) = \sum_{x \in \text{GF}(p^n)^*} \chi(zx - x^d) $ として表現される。ここで $ \chi(x) = \omega^{\text{Tr}(x)} $ である。
• 三値の場合、著者たちは Dobbertin や Feng らの手法にインspされた代数的技法を用い、有限体と指標和の構造を活用する。
• 二値の場合、乗法群 $ \text{GF}(2^{4m})^* $ を部分群 $ C_0 $ と $ D_0 $ の陪集合に分解し、$ zx + x^{d2^{-s}} $ のこれらの陪集合上での分布を分析する。
• 方程式 $ (zx + x^{d2^{-s}})^{(2^{4m}-1)/(2^m+1)} = 1 $ の解の数を用いて、相互相関値と関連付ける。
• 著者たちは、$ zx + x^{d2^{-s}} \in C_i $ となる $ x $ の個数を $ n_i(z) $ と定義し、これらを用いて和 $ S_d(z) $ を計算する。この和が相互相関値に対応する。
• 証明は、群作用の下での解の数え上げと、二値の場合における円分陪集合およびディクソン多項式の性質に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期 $3^{3r}-1$ の三値 $m$-系列に対して、$\gcd(r,3) = 1$ の下でデシメーション $d = 3^r + 2$ における正確な相互相関分布は何か？
• RQ2 周期 $2^{2lm}-1$ の二値 $m$-系列に対して、デシメーション $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ における相互相関が、少なくとも4つの異なる値をとるか？
• RQ3 Sarwate らと Helleseth による予想は、偶数 $l \geq 2$ の下でデシメーション $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ に対しても成立するか？
• RQ4 二値の場合に、相互相関分布は完全に特定可能か、それとも4つ以上の値をとるか？

主な発見

• 三値 $m$-系列に対して $d = 3^r + 2$ および $d = 3^{2r} + 2$ を適用した場合、$\gcd(r,3) = 1$ の下で相互相関分布が完全に特定され、$\gcd(r,3) = 1$ の場合と一致する分布を示す。
• デシメーション $d = \frac{2^{2lm}-1}{2^m+1} + 2^s$ を持つ二値 $m$-系列に対して、相互相関関数は少なくとも4つの異なる値をとる。これは、既知の3値最小値を越える下界を確認するものである。
• 相互相関和 $ S_d(z) $ は少なくとも2つの異なる正の値をとり、そのうちの1つは少なくとも $ 2^{2m+1} $ に達する。これは非自明な分布を示している。
• $ u = (d2^{-s} + 1, 2^m + 1) = 2^m + 1 $ のとき、$ z \neq 1 $ に対して $ S_d(z) = 2^{3m} $ であり、$ S_d(1) = 0 $ である。これは値の明確な分離を示している。
• 著者たちは、Sarwate らと Helleseth の2つの有名な予想が、このデシメーションにおいても成立することを確認した。これは、分布の複雑さにもかかわらず成り立つ。
• 数値実験の結果、相互相関が8つ以上の値をとる可能性があることが示唆されており、完全な分布の特定は依然として困難な未解決問題のままである。