[論文レビュー] Some NP-complete edge packing and partitioning problems in planar graphs

Jed Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スパニングツリーとサイクルまたはパスを含む3つのエッジパッケージングおよびパーティション問題が、平面グラフに制限されても依然としてNP完全であることを証明している。平面3SATからの還元を用いて、以下の問題のNP完全性が確立されている：（1）共有エッジのないスパニングツリーとサイクルのパッケージング、（2）スパニングツリーとs–tパスのパッケージング、（3）エッジをスパニングツリーと一般の木に分割すること—BernáthとKirályが残した未解決のケースを解消した。

ABSTRACT

Graph packing and partitioning problems have been studied in many contexts, including from the algorithmic complexity perspective. Consider the packing problem of determining whether a graph contains a spanning tree and a cycle that do not share edges. Bernáth and Király proved that this decision problem is NP-complete and asked if the same result holds when restricting to planar graphs. Similarly, they showed that the packing problem with a spanning tree and a path between two distinguished vertices is NP-complete. They also established the NP-completeness of the partitioning problem of determining whether the edge set of a graph can be partitioned into a spanning tree and a (not-necessarily spanning) tree. We prove that all three problems remain NP-complete even when restricted to planar graphs.

研究の動機と目的

• 平面グラフにおけるエッジパッケージングおよびパーティション問題の計算複雑性に関する未解決の問いを解消すること。
• スパニングツリー、サイクル、パスを含む問題のNP完全性が、平面グラフ制限下でも保たれるかどうかを特定すること。
• BernáthとKirályのグラフパッケージングおよびパーティションに関する研究で残された3つの未解決ケースを解消すること。

提案手法

• 既知のNP完全問題である平面3SATから還元を行い、エッジに素性を持つまたは分割された部分グラフが充足割り当てに対応する平面グラフを構築する。
• 論理変数、節、論理的制約を、次数が制御された頂点および辺構造を用いてエンコードするための特殊なグラフガジェットの設計。
• 接続性およびエッジに素性を持つことを強制するための補助的頂点および辺（例：σ、τ、ω）の構築。
• エッジに素性を持つスパニングツリーとサイクル／パスのパッケージングと同等の非分離サイクルおよび非分離パスの使用。
• エッジ交換およびサイクル除去技術を用いて初期の木およびサイクル部分グラフを変更し、接続性および無閉路性を保ちつつ有効な分割を達成する。
• 平面双対性を応用し、非分離サイクルと無閉路カットの関係を関係づけ、関連するパーティション問題のNP完全性を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共有エッジのないスパニングツリーとサイクルのパッケージング問題は、平面グラフにおいてもNP完全であるか？
• RQ2 s–tパスとスパニングツリーのパッケージング問題のNP完全性は、平面グラフに制限されても保持されるか？
• RQ3 平面グラフの辺集合をスパニングツリーと一般の木に分割することは可能であり、その問題はNP完全か？
• RQ4 最大次数3または4などのより厳しい次数制約下でも、これらの問題のNP完全性結果は成立するか？
• RQ5 平面グラフにおける非分離サイクルを求めるために以前に提示された多項式時間アルゴリズムは正しく、特定のインスタンスで失敗するか？

主な発見

• 共有エッジのないスパニングツリーとサイクルのパッケージング問題は、平面グラフに制限されてもNP完全である。
• s–tパスとスパニングツリーのパッケージング問題は、平面グラフにおいてもNP完全であり、BernáthとKirályが提起した未解決の問いを解消した。
• グラフの辺集合をスパニングツリーと一般の木に分割する問題は、平面グラフにおいてもNP完全である。
• 本稿では、平面グラフにおける非分離サイクルを求めるために以前に提示された多項式時間アルゴリズムに欠陥があることを特定し、アルゴリズムが失敗する反例を提示した。
• 結果として、平面グラフにおける無閉路カットの存在性の問題もNP完全であることが示唆された。これは、非分離サイクルと平面双対性による関係から生じる。
• 還元は平面3SATを基盤としており、構築されたグラフは最大次数4であるため、3次元グラフへの次数削減の可能性が示唆された。