[論文レビュー] Some Ostrowski's Type Inequalities for Functions whose Second Derivatives are s-Convex in the Second Sense and Applications

Erhan Set, Mehmet Zeki Sarıkaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2010

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、第二の意味におけるs-凸性を示す二回微分可能な関数の第二導関数を用いて、積分的恒等式とs-凸性の性質を応用し、新しいオストロフスキー型不等式を確立する。主な貢献は、第二導関数のL1ノルムを含む鋭い境界を与えることである。応用としては、算術平均、対数平均、および同一平均といった特殊平均への応用が特に、べき関数および対数関数に対して示される。

ABSTRACT

Some new inequalities of Ostrowski type for twice differentiable mappings whose derivatives in absolute value are s-convex in the second sense are given.Applications for special means are also provided.

研究の動機と目的

• 第二導関数が第二の意味においてs-凸性を示す関数に対する、新しいオストロフスキー型積分不等式を導出すること。
• 古典的なオストロフスキーおよびハダマール型不等式を、第二の意味におけるs-凸関数のクラスへ拡張すること。
• 第二導関数のs-凸性を組み込んだ形で、関数値とその積分平均との乖離に関する定量的境界を提供すること。
• 算術平均、対数平均、同一平均といった正の実数の特殊平均への、導出された不等式の応用。
• 第二導関数のs-凸性の仮定に基づいて、数値積分規則の誤差推定を確立すること。

提案手法

• 部分積分を用いた積分的恒等式を導出し、積分平均と関数値および線形補正項との差を表現する。
• |f''|のs-凸性の性質を適用し、|f''(a)|、|f''(b)|、|f''(x)|の重み付き平均による積分の上界を求める。
• ホルダーの不等式とべき平均の推定を用いて、第二導関数のLq可積分性の仮定の下でLp型の境界を導出する。
• 変数変換u = tx + (1-t)aおよびu = tx + (1-t)bを用い、積分を[0,1]上でのパラメトリック形に変換する。
• f(x) = x^sおよびf(x) = ln xといった特定の関数に適用し、特殊平均に関する不等式を導出する。
• 導出された誤差境界を用いて、一般化対数平均L_s、算術平均A、および同一平均Iを含む不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二導関数が第二の意味においてs-凸性を示す場合のオストロフスキー型誤差の最適境界は何か？
• RQ2 |f''|のs-凸性を用いて、積分平均近似誤差をどのように推定できるか？
• RQ3 これらの不等式が算術平均A、同一平均I、およびL_sといった特殊平均に与える影響は何か？
• RQ4 追加の可積分性（Lp）または凸性（s-凸性）の仮定を課した場合、境界はどのように変化するか？
• RQ5 これらの不等式を用いて、対数平均と算術平均の差の新たな推定を導出できるか？

主な発見

• 本稿では、第二導関数がs-凸性を示す場合の鋭いオストロフスキー型不等式を確立している： |\frac{1}{b-a}\int_a^b f(u)du - f(x) + \left(x - \frac{a+b}{2}\right)f'(x)| \leq \frac{1}{2(b-a)} \times \Bigg[\left(\frac{|f''(x)|}{s+3} + \frac{2|f''(a)|}{(s+1)(s+2)(s+3)}\right)(x-a)^3 \\ + \left(\frac{|f''(x)|}{s+3} + \frac{2|f''(b)|}{(s+1)(s+2)(s+3)}\right)(b-x)^3\Bigg] for x \in [a,b].
• 中点則の場合、x = (a+b)/2 とすると、 |\frac{1}{b-a}\int_a^b f(u)du - f\left(\frac{a+b}{2}\right)| \leq \frac{1}{24}(b-a)^2 \times \max\{|f''(a)|, |f''(b)|\} \times \frac{s^2 + 3s + 4}{(s+1)(s+2)(s+3)} となる。
• f(x) = x^s on [a,b] の場合、不等式は s \in (0,1) に対して |L_s^s(a,b) - A^s| \leq \frac{M(b-a)^2}{8} \times \frac{s^2 + 3s + 4}{(s+1)(s+2)(s+3)} を満たす。ここで M = \max\{|f''(a)|, |f''(b)|\} である。
• f(x) = \ln x の場合、不等式は p > 1, q > 1 かつ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 の下で |\ln I - \ln A| \leq \frac{2^{(s-1)/q}(b-a)^2}{(2p+1)^{1/p}} \times \left[\frac{1}{(3a+b)^2} + \frac{1}{(a+3b)^2}\right] を満たす。
• ホルダーの不等式を用いることで、(2p+1)^{-1/p} および (2/(s+1))^{1/q} を含む境界が得られ、 |L_s^s(a,b) - A^s| \leq \frac{M}{8(2p+1)^{1/p}} \times \left(\frac{2}{s+1}\right)^{1/q} \times (b-a)^2 となる。
• 定数 \frac{s^2 + 3s + 4}{(s+1)(s+2)(s+3)} はs-凸性の文脈において最適であることが示され、s = 1 の場合に既知のケースに還元される。