[論文レビュー] Some properties of the rate function of quenched large deviations for random walk in random environment

Alexis Devulder|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、再帰的ランダム環境における1次元の確率ウォークのクエンチド大偏差率関数が、ゼロにおいて無限大の2階微分を持つことを確立し、グレーヴェンとデンホラーダーの予想を裏付ける。 hitting time の分析と漸近的推定を用いて、漂移付きブラウン運動のポテンシャルにおけるブロックス型拡散の率関数が、同じ速度を持つブラウン運動のそれよりも厳密に小さいことをさらに証明し、RWRE 問題の連続的類似を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in some questions of Greven and den Hollander about the rate function $I\_η^q$ of quenched large deviations for random walk in random environment. By studying the hitting times of RWRE, we prove that in the recurrent case, $\lim\_{θ o 0^+}(I\_η^q)''(θ)=+\infty$, which gives an affirmative answer to a conjecture of Greven and den Hollander. We also establish a comparison result between the rate function of quenched large deviations for a diffusion in a drifted Brownian potential, and the rate function for a drifted Brownian motion with the same speed.

研究の動機と目的

• 再帰的ランダム環境における確率ウォークのクエンチド大偏差率関数のゼロ近傍における挙動に関するグレーヴェンとデンホラーダーのオープン・プロブレム2を解決すること。
• 率関数の性質を確立するために、RWREの到達時間の漸近的挙動を分析すること。
• グレーヴェンとデンホラーダーが予想したように、正の速度を有するRWREのクエンチド率関数が、同じ速度を持つ単純なランダムウォークのそれよりも小さいかどうかを検証すること。
• スケーリング極限とストラスティック微分方程式を通じて、ブロックス型拡散とRWREとの関係を用いて、連続的類似を提供すること。

提案手法

• モーメント生成関数の推定を用いて、ランダム環境における確率ウォークの到達時間 τ₁ を分析する。
• r → 0⁺ のときの E[τ₁^α e^{-rτ₁}] の漸近的挙動を導出し、指数 α における多項式的成長を示す。
• クエンチド測度 Pω に対する大偏差理論を適用し、率関数 Iηq の存在性と凸性を確立する。
• スケーリング極限とストラスティック微分方程式を通じて、ブロックス拡散とRWREとの関係を応用する。
• 修正ベッセル関数と漸近展開を用いて、拡散のモーメント生成関数 Γκ(λ) を分析する。
• 微分方程式と級数展開を用いて、同じ速度を持つブラウン運動のモーメント生成関数と拡散のモーメント生成関数を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的RWREにおけるクエンチド率関数 Iηq は、θ → 0⁺ のとき (Iηq)''(θ) → +∞ を満たすか？
• RQ2 漂移付きのブロックス型拡散の率関数が、同じ速度を持つブラウン運動のそれよりも厳密に小さいことを示せるか？
• RQ3 クエンチドRWREの率関数が、一致する速度を持つ単純なランダムウォークのそれよりも小さいという予想の連続的類似は存在するか？
• RQ4 再帰的RWREの枠組みにおける到達時間のモーメント生成関数の正確な漸近的挙動は何か？

主な発見

• クエンチド率関数 Iηq の2階微分は、θ → 0⁺ のとき無限大に発散し、グレーヴェンとデンホラーダーの予想が裏付けられた。
• 任意の α > 0 に対して、到達時間 τ₁ のモーメント生成関数は、r → 0⁺ のとき E[τ₁^α e^{-rτ₁}] = (1/r)^{α + o(1)} を満たす。
• ブロックス拡散のモーメント生成関数 Γκ(λ) は、すべての λ > 0 に対して Γκ(λ) < φvκ(λ) を満たす。ここで φvκ は、速度 vκ のブラウン運動のモーメント生成関数である。
• 拡散の率関数 Jκ(x) は、すべての x > vκ に対して Jκ(x) < (1/2)(x - vκ)^2 を満たし、ブラウン運動の率関数に対する厳密な優越性が証明された。
• Γκ(λ) の漸近展開により、λ → ∞ のとき Γκ(λ) = √(2λ) - (1/4)(κ - 1/2) + O(1/√λ) が得られる。
• 比較結果はすべての κ ≥ 0 に対して成り立ち、等号は κ = 1/2 の場合にのみ成立する。このとき拡散は、ドリフト付きブラウン運動に還元される。