[論文レビュー] Some properties of the theory of n-categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単体的圏とセガール空間を用いて、$n$-圏理論のドゥイアー・カン局在化を特徴付ける10のホモトピー的および圏論的性質を提案する。これらの性質が、写像対象間の整合的な合成法則の存在を示し、局在化されたホモトピー圏の同値性を通じて、$n$-圏の異なる定義を比較するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let $L_n$ denote the Dwyer-Kan localization of the category of weak n-categories divided by the n-equivalences. We propose a list of properties that this simplicial category is likely to have, and conjecture that these properties characterize $L_n$ up to equivalence. We show, using these properties, how to obtain the morphism $n-1$-categories between two points in an object of $L_n$ and how to obtain the composition map between the morphism objects.

研究の動機と目的

• 任意の合理的な$ n $-圏理論が満たすべき最小限の構造的性質の特定。
• ドゥイアー・カン局在化に基づくホモトピー的枠組みの提供——異なる$ n $-圏の定義を比較するためのもの。
• これらの性質が、$ n $-圏における写像対象間の合成法則を一意に決定することの証明。
• Tamsamani や Batanin、Leinster などの主な$ n $-圏の定義が、これらの性質を満たすと仮定し、その結果、提案された枠組みのもとでそれらが同値であることを示唆する。
• 特定の構成に依存しない$ n $-圏の普遍的特徴付けの基盤を築く。

提案手法

• $ n $-圏とその厳密な$ n $-同値の1-圏から、ドゥイアー・カン局在化を用いて単体的圏$ \mathcal{L}_n $を構成する。
• $ \mathcal{L}_n $を$ n $-圏の$ n+1 $-圏における1-群的内部として定義し、高階の同値射のみを保持する。
• 写像空間のホモトピー余幅を用いて、射の逐次合成をモデル化する関手$ \Upsilon^k(E_1,\dots,E_k) $を導入する。
• 中心的な構造的性質（性質10）として、$ H(\Upsilon^k(E_1,\dots,E_k), \{0,k\}) \cong E_1 \times \cdots \times E_k $ の同値性を確立する。
• 随伴と余幅の普遍性を用いて、$ \mathcal{L}_n $の構造から、合成写像$ H(X,\{x,y\}) \times H(X,\{y,z\}) \to H(X,\{x,z\}) $ を導出する。
• これらの性質によって誘導される関手$ \mathcal{L}_n \to \mathcal{L}_{n,\text{Ta}} $が同値であると提案し、これが完全な特徴付けを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる定義における$ n $-圏理論を一様に特徴付けるホモトピー的および圏論的性質の集合が存在するか？
• RQ2 $ n $-圏の1-圏を$ n $-同値で局在化したドゥイアー・カン局在化は、$ n $-圏的理論を比較するための普遍的不変量をもたらすか？
• RQ3 $ n $-圏における写像対象間の合成法則は、局在化された単体的圏の構造的性質から純粋に導出可能か？
• RQ4 Tamsamani のような既知の$ n $-圏の定義は、提案された10の性質を満たすか？ もしそうなら、それらが同値であると示唆されるか？
• RQ5 $ \mathcal{L}_n $からTamsamaniの$ n $-圏局在化への関手が同値であるか？ これにより、予想された特徴付けが妥当化されるか？

主な発見

• $ n $-圏における写像対象間の合成写像は、ドゥイアー・カン局在化された単体的圏$ \mathcal{L}_n $の構造的性質から導出される。
• 性質10、すなわち$ H(\Upsilon^k(E_1,\dots,E_k), \{0,k\}) \cong E_1 \times \cdots \times E_k $ は、合成の構成を可能にする中心的な構造的条件である。
• Tamsamani の$ n $-圏の定義は、提案された10のすべての性質を満たしており、予想に対する強い証拠を提供する。
• 合成写像の構成は、単体的圏の構造と随伴にのみ依存し、特定のモデルには言及しない。
• すべての$ n $-圏の定義がこれらの性質を満たすという予想が成立すれば、ドゥイアー・カン局在化を通じてそれらが同値であることが示され、ホモトピー的意味での比較問題が解決される。
• この枠組みは、$ \mathcal{L}_n \to \mathcal{L}_{n,\text{Ta}} $の関手を示唆しており、これが同値であれば、提案された性質によって$ n $-圏が完全に特徴付けられる。