[論文レビュー] Limits in $n$-categories

Carlos Simpson|ArXiv.org|Aug 7, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$n$-圏における極限の統一的枠組みを導入し、カテゴリー的極限とホモトピー的極限を一般化する。直接極限と逆極限は、ファイブランティ $n$-圏における普遍性によって定義される。主な結果として、$n+1$-圏 $nCAT'$ において任意の逆極限および直接極限が存在することを確立し、古典的な圏論的極限を高次ホモトピー的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We define notions of direct and inverse limits in an $n$-category. We prove that the $n+1$-category $nCAT'$ of fibrant $n$-categories admits direct and inverse limits. At the end we speculate (without proofs) on some applications of the notion of limit, including homotopy fiber product and homotopy coproduct for $n$-categories, the notion of $n$-stack, representable functors, and finally on a somewhat different note, a notion of relative Malcev completion of the higher homotopy at a representation of the fundamental group.

研究の動機と目的

• カテゴリー的極限とホモトピー的 holim を統合する $n$-圏における極限の整合的で一貫した概念の構築を目的とする。
• $n$-圏的ホモトピー理論における高次極限の体系的取り扱いの欠如に応えること。
• ファイブランティ $n$-圏の $n+1$-圏 $nCAT'$ における逆極限および直接極限の基礎的存在定理を確立すること。
• 高次スタック理論、表現可能関手、ホモトピー型の相対マルチェフ完成への応用を提案すること。
• $n$-圏的極限を通じて、古典的圏論と現代ホモトピー代数の間の概念的ブリッジを提供すること。

提案手法

• $n$-圏 $C$ における直接極限および逆極限を、射の $(n-1)$-圏の同値性を含む普遍性によって定義する。
• $n+1$-前圏 $\Upsilon^k(E_1,\ldots,E_k)$ を、辺に $n$-前圏を持つ高次元単体とし、極限構成の技術的道具として用いる。
• 逆極限を $nCAT'$ において $\operatorname{Hom}_{\underline{Hom}(A,C)}(\ast,\varphi)$ として構成し、集合論的逆極限を一般化する。
• 直接極限の場合は双対性のテクニックを用いる：射 $\psi \to B$ をパラメトライズする補助的 $n+1$-圏 $D$ を構成し、評価関手 $D \to nCAT'$ の逆極限を取る。
• 集合論的問題を回避するため、小ささを保証するため、有界な基数の部分圏 $D_\alpha$ に制限する。
• この枠組みを用いて、適切な $n+1$-圏のスタックおよび群コホロジーの下で、高次ホモトピー型の相対マルチェフ完成を逆極限により定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的圏論における極限の概念を、高次ホモトピー的情報を組み込む形で $n$-圏へどのように一般化できるか？
• RQ2 ファイブランティ $n$-圏の $n+1$-圏 $nCAT'$ において、逆極限および直接極限が存在するための条件は何か？
• RQ3 極限の概念を用いて、ホモトピー理論におけるマルチェフ完成の高次類似物を定義・研究できるか？
• RQ4 $nCAT'$ におけるホモトピー余積とファイバー積は、$n$-圏上の閉じたモデル構造とどのように関係するか？
• RQ5 表現可能関手および内部ホムが $n$-圏において果たす役割は何か？また、それらはいつ極限によって構成可能か？

主な発見

• $n+1$-圏 $nCAT'$ は任意の逆極限および直接極限を備え、$n=0$ の場合の $\mathbf{Sets}$ における古典的極限の存在を一般化する。
• $nCAT'$ における逆極限は $\operatorname{Hom}_{\underline{Hom}(A,C)}(\ast,\varphi)$ として構成され、射の $(n-1)$-圏の同値性による普遍性を満たす。
• 直接極限は双対性のテクニックにより構成される：射 $\psi \to B$ をパラメトライズする圏 $D$ を作り、評価関手 $D \to nCAT'$ の逆極限を取る。有界な基数により集合論的問題を解消する。
• 空間 $X$ の高次ホモトピー型の相対マルチェフ完成 $Malc(X,\rho)$ は、単位根をもつ $n$-群コホロジーの適切な部分圏における $nCAT'$ での逆極限として定義される。
• $\mathbb{C}$ 上の多様体 $X$ に対して、ベティ、ド・ラーム、ドルベオール版のマルチェフ完成は自然に同値である：$Malc(X_B,\rho)/\mathbb{C} \cong Malc(X_{DR},P)/\mathbb{C} \cong Malc(X_{Dol},Q)/\mathbb{C}$。
• 予想として、$Malc(X_B,\rho)/\mathbb{R}$ は混合ホッジ構造をもち、$Malc(X_B,\rho)/\mathbb{C}$ は混合ツイスター構造をもつ。これは古典的なホッジ理論的アイデアを高次ホモトピー型へと拡張する。