[論文レビュー] Some Rational Vertex Algebras

Dražen Adamović|ArXiv.org|Feb 22, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 38

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティックアフィンリー代数 $C_\ell^{(1)}$ に関連する頂点演算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ の既約モジュールを分類し、それらすべてが明示的に記述された2つのアドミッサブル重みの集合 $S_1^n$ および $S_2^n$ から生じることを証明する。分類により、頂点代数は有理的であり、すべてのモジュールがカテゴリカル $\mathcal{O}$ において完全に可約であることが示され、また、特定の多項式集合 $\mathcal{P}_{0,\ell}$ の零点と既約モジュールの間の対応関係が確立される。

ABSTRACT

Let $L((n- frac 3 2)Λ_0)$, $n \in \Bbb N$, be a vertex operator algebra associated to the irreducible highest weight module $L((n- frac 3 2)Λ_0)$ for a symplectic affine Lie algebra. We find a complete set of irreducible modules for $L((n- frac 3 2)Λ_0)$ and show that every module for $L((n- frac 3 2)Λ_0)$ from the category $\Cal O$ is completely reducible.

研究の動機と目的

• 頂点演算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ のすべての既約モジュールを分類すること。
• モジュール $L(\lambda)$ が $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ の上に存在するようなアドミッサブル最高重み $\lambda$ の集合を特徴づけること。
• 頂点演算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ が、有限個の既約モジュールを持ち、かつカテゴリカル $\mathcal{O}$ のすべてのモジュールが完全に可約であることを示すことにより、それが有理的であることを証明すること。

提案手法

• 根系および $C_\ell^{(1)}$ のコルートに基づいて、条件 $\Pi^\lambda = \Pi_i$ ($i=1,2$) を用いて、2つのアドミッサブル重みの集合 $S_1^n$ および $S_2^n$ を定義すること。
• Kac–Wakimoto のアドミッサブル重み理論を用いて、ヴェルマ型モジュールの特異的ベクトルおよび既約商を特徴づけること。
• 頂点代数作用の構造を活用して、$L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-モジュールの既約モジュールと多項式集合 $\mathcal{P}_{0,\ell}$ の零点との間の対応関係を確立すること。
• 頂点代数生成子の作用を用いた $n$ に関する帰納法により、集合 $S_1^n$ および $S_2^n$ が $L(\lambda)$ がモジュールであるような唯一の重みであることを証明する。ここで、$X_{\epsilon_j + \epsilon_{j+1}}(0)^2 - X_{2\epsilon_j}(0)X_{2\epsilon_{j+1}}(0)$ の作用を用いる。
• Kac–Wakimoto の定理2を適用して、すべての既約部分商がアドミッサブルである場合、カテゴリカル $\mathcal{O}$ のモジュールが完全に可約であることを導くこと。
• ウェイル代数の構造とノーマル順序を用いて、Lie代数 $\overset\circ\to{\mathfrak g} = \mathfrak{sp}_{2\ell}(\mathbb{C})$ を $W(A)$ の部分代数として実現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数 $n$ に対して、どのアドミッサブル重み $\lambda$ が $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-モジュールを生成するか？
• RQ2 既約モジュールは重み集合 $S_1^n$ および $S_2^n$ を用いてどのように完全に分類できるか？
• RQ3 既約 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-モジュールと多項式集合 $\mathcal{P}_{0,\ell}$ の零点との間に一対一対応があるか？
• RQ4 頂点演算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ は、特にカテゴリカル $\mathcal{O}$ における完全可約性を満たす有理的性の条件を満たすか？
• RQ5 集合 $S_1^n$ および $S_2^n$ は、頂点代数生成子の重み空間への作用とどのように関係しているか？

主な発見

• 既約 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-モジュールは、多項式集合 $\mathcal{P}_{0,\ell}$ の零点と一対一に対応しており、完全な分類が確立された。
• 集合 $S_1^n$ および $S_2^n$ は、$L(\lambda)$ が $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ の上にモジュールとして存在する唯一のアドミッサブル重みであり、$\langle \lambda, c \rangle = n - \frac{3}{2}$ で特徴づけられる。
• 頂点演算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ は、有限個の既約モジュールを持ち、かつカテゴリカル $\mathcal{O}$ のすべてのモジュールが完全に可約であることから、有理的である。
• 分類は $n$ に関する帰納法により証明され、$\tilde{S}_i^n = S_i^n$ ($i=1,2$) が成り立つことが示された。ここで $\tilde{S}_i^n$ は頂点代数生成子の作用による重み空間の性質で定義される。
• $n=1$ の場合、集合 $S_1^1$ および $S_2^1$ はそれぞれ $\{-\frac{1}{2}\Lambda_0, -\frac{3}{2}\Lambda_0 + \Lambda_1\}$ および $\{-\frac{1}{2}\Lambda_\ell, -\frac{3}{2}\Lambda_\ell + \Lambda_{\ell-1}\}$ として明示的に計算される。
• モジュール $M(\lambda)$ が既約であるための必要十分条件は $\lambda \in S_1^n \cup S_2^n$ であり、そうでない場合には $M^1(\lambda) \subset M(\lambda)$ が真部分モジュールである。これは $\overline{W}M(\lambda) = M^1(\lambda)$ が $\lambda \in S_1^n \cup S_2^n$ のときにかつそのときに限り成り立つことから示される。