[論文レビュー] Some remarks on a minimization problem associated to a fourth order nonlinear Schrödinger equation

Nabile Boussaïd, Antonio J. Fernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定された $L^2$-ノルムの下でエネルギー汎関数の制約付き最小化問題を分析することにより、混合分散を有する4次非線形シュレーディンガー方程式の定常波解の存在および安定性を調査する。主な貢献は、$\beta>0$、$\sigma N=4$、$N\geq 5$ の条件下で、小さな質量 $c>0$ の場合に最小化子が存在し、並進に関して前コンパクトであることを証明することであり、濃縮コンパクト性の議論における困難な消去ケースを解決する。

ABSTRACT

Let $γ> 0\,$, $β> 0\,$, $α> 0$ and $0 < σN < 4$. In the present paper, we study, for $c > 0$ given, the constrained minimization problem \begin{equation*} \label{MinL2fixed} m(c):=\inf_{u\in S (c) }E(u), \end{equation*} where \begin{equation*} E (u):=\fracγ{2}\int_{\mathbb{R}^N}|Δu|^2\, dx -\fracβ{2}\int_{\mathbb{R}^N}| abla u|^2\, dx-\fracα{2σ+2}\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2σ+2}\, dx, \end{equation*} and \begin{equation*} S(c):=\left\{u\in H^2(\mathbb{R}^N):\int_{\mathbb{R}^N}|u|^{2}\, dx=c ight\}. \end{equation*} The aim of our study is twofold. On one hand, this minimization problem is related to the existence and orbital stability of standing waves for the mixed dispersion nonlinear biharmonic Schrödinger equation \begin{equation*} i \partial_t ψ-γΔ^2 ψ- βΔψ+ α|ψ|^{2σ} ψ=0, \quad ψ(0, x)=ψ_0 (x),\quad (t, x) \in \mathbb{R} imes \mathbb{R}^N. \end{equation*} On the other hand, in most of the applications of the Concentration-Compactness principle of P.-L. Lions, the difficult part is to deal with the possible dichotomy of the minimizing sequences. The problem under consideration provides an example for which, to rule out the dichotomy is rather standard while, to rule out the vanishing, here for $c > 0$ small, is challenging. We also provide, in the limit $c o 0$, a precise description of the behaviour of the minima. Finally, some extensions and open problems are proposed.

研究の動機と目的

• 混合分散を有する双曲型非線形シュレーディンガー方程式の文脈において、固定された $L^2$-ノルムの下でエネルギー汎関数の最小化子の存在を確立すること。
• 濃縮コンパクト性原理を適用する際の重要な課題である、$\beta>0$ の場合に小さな質量 $c>0$ のときの最小化列の消去を排除すること。
• $c \to 0^+$ の際の最小化子の漸近的挙動を明確に記述すること、特に関連するラグランジュ乗数が $\beta^2/(4\gamma)$ に収束することを示すこと。
• 線形作用素 $\gamma\Delta^2 + \beta\Delta$ の本質的スペクトルの下端に、分岐現象が生じる可能性を検討すること。
• 従来の研究が $\beta\leq 0$ に焦点を当てていたのに対し、$\beta>0$ の場合に既知の臨界定常現象の結果を拡張すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $E(u)$ が運動エネルギー、ポテンシャルエネルギー、非線形項を含む制約付き最小化問題 $m(c) = \inf_{u \in S(c)} E(u)$ を定式化する。ここで $S(c)$ は $L^2$-ノルムが $c$ に等しい $H^2$ 関数の集合を表す。
• 最小化列の分析に濃縮コンパクト性原理を適用し、$c \to 0^+$ の際の二分岐と消去の排除に注目する。
• スケーリングの議論と、$U$ を極限問題の基底状態とする形のテスト関数 $w_s(x) = s^{N/2} U(sx)$ を用いて、$E(w_s)$ の挙動を分析し、小さな $c$ における強制性を証明する。
• $\sigma N = 4$ かつ $N \geq 5$ のとき、$E$ が $S(c)$ 上で強制的であることを用いて、$c < c_N^*$ のとき、最小化列が $H^2(\mathbb{R}^N)$ 内で並進に関して前コンパクトであることを確立する。
• 最小化子に関連するラグランジュ乗数 $\lambda$ の下界を導出し、$\lambda > \beta^2/(4\gamma)$ を示す。これにより、解が本質的スペクトルから分岐することが確認される。
• 変分的技法とエネルギー推定を用いて $c \to 0^+$ の極限を分析し、最小化子が $H^2$-ノルムでゼロに収束し、$\lambda \to \beta^2/(4\gamma)$ となることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\gamma>0$, $\beta>0$, $\alpha>0$, $\sigma$, $N$ が何の条件下で、小さな $c>0$ に対して制約付き最小化問題 $m(c)$ が最小化子を有するか？
• RQ2 $\beta>0$ の場合、$\beta\leq 0$ の場合よりも困難であるが、最小化列の消去をどのように排除できるか？
• RQ3 $c \to 0^+$ の際の最小化子および関連するラグランジュ乗数の漸近的挙動は何か？
• RQ4 非線形方程式において、本質的スペクトルの下端 $\lambda = \beta^2/(4\gamma)$ に分岐現象が生じるか？
• RQ5 $\beta>0$ の場合に、$\sigma N = 4$ の臨界定常状況に最小化子の存在が拡張可能か？

主な発見

• $\beta>0$、$\sigma N = 4$、$N \geq 5$ のとき、すべての $c < c_N^*$ に対して、$E$ は $S(c)$ 上で強制的であり、小さな $c>0$ のとき最小化子の存在を保証する。
• $c < c_N^*$ のとき、$m(c)$ の任意の最小化列は $H^2(\mathbb{R}^N)$ 内で並進に関して前コンパクトである。これにより、消去および二分岐が排除される。
• $m(c)$ の最小化子 $u$ は $\lambda > \beta^2/(4\gamma)$ を満たす。これは、解が線形作用素の本質的スペクトルから分岐することを確認する。
• $c \to 0^+$ のとき、任意の最小化子 $u_c$ は $H^2(\mathbb{R}^N)$-ノルムでゼロに収束し、関連するラグランジュ乗数 $\lambda_c$ は $\beta^2/(4\gamma)$ に収束する。
• $\beta<0$ の場合に存在する臨界定常閾値 $\tilde{c}$ は、$\beta>0$ の場合、ゼロである。これは、すべての小さな $c>0$ に対して最小化子が存在することを示唆する。
• 既存の結果との類似性に基づき、本稿では、$\sigma N < 4$ の場合に加え、$\sigma \in (4/N, 1)$ かつ $\sigma N > 4$ の場合にも、本質的スペクトルからの分岐現象が生じる可能性があると予想している。