[論文レビュー] Some remarks on convex analysis in topological groups

Jonathan M. Borwein, Ohad Giladi|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、局所凸位相群における分離定理、Krein-Milman定理、ミニマックス定理を証明するため、群論的ゲージ汎関数を導入することで、古典的凸解析を位相群およびモノイドへ拡張する。凸性と双対性の結果が、特にp-半可除または可除モノイドで、前コンパクトな凸包を有するような弱い位相的・代数的条件下で一般化されることを確立する。

ABSTRACT

We discuss some key results from convex analysis in the setting of topological groups and monoids. These include separation theorems, Krein-Milman type theorems, and minimax theorems.

研究の動機と目的

• 局所凸位相線形空間における分離定理やKrein-Milman定理といった、凸解析の基本的結果を、位相群およびモノイドの文脈へ拡張すること。
• 局所凸位相線形空間におけるゲージ汎関数の群論的類似物を定義し、その分析を行うこと。
• 特にp-半可除または可除構造において、ミニマックス定理が成り立つ条件を確立すること。
• 非線形空間、特に双曲型群や半群における凸性と位相的構造の役割を調査すること。
• 可除モノイドにおける凸包が前コンパクトであることを示し、半連続性およびミニマックス結果の成立を可能にすること。

提案手法

• 群演算と単位元における近傍基を用いて、局所凸位相線形空間における古典的ゲージの一般化として、位相群上にゲージ汎関数を定義する。
• ゲージ汎関数を用いて、局所凸位相群における互いに素な凸集合に対して分離定理を証明する。
• 分離定理の結果を応用し、コンパクトな凸集合がその極端点の閉凸包であることを示すKrein-Milman型定理を導出する。
• 凸性、下位・上位半連続性、および凸包の前コンパクト性を仮定することで、[BZ86]のFanのミニマックス定理を位相モノイドへ適応する。
• p-半可除モノイドの構造を用いて、有理数係数の凸結合を近似する点列を構成し、半連続性の議論を可能にする。
• 正の双曲型群における例のように、Λ: ℝ → X などの写像による凸集合の連続的パrametrizationを用い、ℝから群への凸性および連続性の性質の移行を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所凸位相線形空間における分離定理は、位相群へ一般化可能か？
• RQ2 局所凸位相群においてKrein-Milman定理は成立するか？ また、コンパクトな凸集合がその極端点の閉凸包であるための条件は何か？
• RQ3 位相モノイドにおいてミニマックス定理が成り立つ条件は何か？ 特に、空間が線形空間ではない場合に限って。
• RQ4 可除性の性質（例：p-半可除性）は、モノイドにおける凸関数の振る舞いや凸包の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 非線形群（例：正の双曲型群）における凸性および連続性は、連続的パrametrizationを介して、ℝ上の性質にどの程度還元可能か？

主な発見

• 局所凸位相線形空間における古典的ゲージと類似する振る舞いを示す、位相群におけるゲージ汎関数が定義され、分離定理の証明が可能になる。
• 局所凸かつT₁の位相群では、すべての単集合が凸であり、非ゼロの元が有限位数を持たないため、群はねじれなしであり、極限において一意に可除である。
• 局所凸位相群におけるコンパクトな凸部分集合に対して、Krein-Milman定理が成立する：このような集合はその極端点の閉凸包に一致する。
• p-半可除位相モノイドにおいて、任意の二点の凸包が前コンパクトであれば、凸関数はその有理数係数結合における値によって決定される。
• p-半可除位相モノイドのコンパクトな凸部分集合上で、凸・凹型関数に対してミニマックス定理が成立する。ただし、凸包が前コンパクトで、関数が半連続であることが条件となる。
• 正の双曲型群（Λ: ℝ → X でパラメータ化）では、ℝ上での関数の凸性および連続性が群へと持ち上がり、標準的な半連続性およびコンパクト性の仮定のもとでミニマックス等式が成り立つ。