[論文レビュー] Some remarks on derivations in algebras of measurable operators

A. F. Ber, B. de Pagter+1 more|ArXiv.org|Jul 7, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、von Neumann代数に付随する可測作用素の代数における導分を調査し、すべての導分が内導分であるような型 I von Neumann代数の完全な特徴付けを確立している。さらに、適切に無限大の von Neumann代数では、局所的可測作用素の代数の中心上ですべての導分が消えることを示している。

ABSTRACT

This paper is concerned with derivations in algebras of (unbounded) operators affiliated with a von Neumann algebra $\mathcal{M}$. Let $\mathcal{% A}$ be one of the algebras of measurable operators, locally measurable operators or, $τ$-measurable operators. We present a complete description of von Neumann algebras $\mathcal{M}$ of type $I$ in terms of their central projections such that every derivation in $\mathcal{A}$ is inner. It is also shown that every derivation in the algebra $LS(\mathcal{M})$ of all locally measurable operators with respect to a properly infinite von Neumann algebra $\mathcal{M}$ vanishes on the center of $LS(\mathcal{M})$.

研究の動機と目的

• 可測作用素の代数（LS(M), S(M), S(τ)）におけるすべての導分が内導分であるような型 I von Neumann代数 M を特徴付けること。
• 適切に無限大の von Neumann代数における局所的可測作用素の代数の中心における導分の挙動を調査すること。
• ノルム付き作用素代数における導分の古典的結果を、ノルムを持たない可測作用素の代数へと拡張すること。
• ノルム付き設定における不等式の代わりに非ノルム設定で用いることができる作用素不等式を提供すること。
• 導分が必ず内導分であるか、中心上で消えるような von Neumann代数の構造的条件を確立すること。

提案手法

• von Neumann代数 M に付随する可測作用素の理論を用い、特に LS(M)、S(M)、S(τ) の代数に焦点を当てる。
• 中心射影とべき等元の性質を応用して、導分の構造と中心上で消える条件を分析する。
• II₁因子におけるスペクトル理論とトレースの性質を用い、特にトレースを用いてスペクトル射影により中心的元 λ₀ を定義する。
• Murray-von Neumann同値性による等しいトレースを持つ射影のユニタリ同値性を応用し、作用素を共軛するユニタリを構成する。
• 恒等式 |a − λ₀1| + u*|a − λ₀1|u = |ua − au| を用いて、II₁因子における重要な作用素不等式を導出する。
• Z-線形性と交換子構造の概念を適用し、M が適切に無限大のとき、LS(M) の中心上で導分が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの型 I von Neumann代数に対して、LS(M)、S(M)、S(τ) のすべての導分が内導分となるか？
• RQ2 局所的可測作用素の代数上の導分が中心上で消えるのはどのような条件下か？
• RQ3 ノルムに基づく導分の不等式を、ノルムを持たない可測作用素の代数へと一般化するにはどうすればよいか？
• RQ4 中心射影とスペクトル射影は、内導分を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 von Neumann代数の構造（例えば、適切に無限大または II₁因子）は、導分の消える性質や内導分性とどのように関連するか？

主な発見

• von Neumann代数 M が型 I であることは、LS(M)、S(M)、S(τ) におけるすべての導分が内導分であることと同値である。
• 任意の適切に無限大の von Neumann代数 M に対して、任意の *-部分代数 A ⊆ LS(M) が M を含むとき、任意の導分 δ: A → LS(M) は A の中心 Z(A) 上で消える。
• II₁因子において、任意の自己随伴可測作用素 a ∈ S_h(M) に対して、ある λ₀ ∈ ℝ とユニタリ u ∈ U(M) が存在し、|au − ua| = |u*au − a| = |a − λ₀1| + u*|a − λ₀1|u が成り立つ。
• 作用素不等式 |a − λ₀1| + u*|a − λ₀1|u = |au − ua| が成り立ち、非ノルム代数におけるノルム推定の代わりに機能する。
• 可測作用素の代数における導分は Z-線形であり、すべての a ∈ Z(A) に対して δ(a) ∈ Z(A) が成り立つ。これは δ が中心的べき等元上で消えることを示唆する。
• Murray-von Neumann同値性によるユニタリの構成により、等しいトレースを持つ射影がユニタリ同値であることが保証され、II₁因子における重要な恒等式の導出が可能になる。