[論文レビュー] Some remarks on topological full groups of Cantor minimal systems II

Hiroki Matui|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、極小な部分符号の位相的フル群の交換子部分群が指数的成長を示すことを確立し、可測フル群が可算、測度を保つ、混合的で、超有限な同値関係である場合、2つの元によって位相的に生成可能であることを証明する。これらの結果は、カントール極小系およびステルミアン符号における位相的フル群とその部分群の群論的解析を通じて得られる。

ABSTRACT

We prove that commutator subgroups of topological full groups arising from minimal subshifts have exponential growth. We also prove that the measurable full group associated to the countable, measure-preserving, ergodic and hyperfinite equivalence relation is topologically generated by two elements.

研究の動機と目的

• カントール極小系の位相的フル群内の交換子部分群の成長特性を調査すること。
• 超有限で測度を保ち、混合的である同値関係に関連する可測フル群の最小位相生成元数を特定すること。
• 特にステルミアン符号やオドメータとの関係において、位相的フル群の代数的構造を明確にすること。
• フル群の動的系における群の生成とアメニタリティに関する先行研究を、フル群の文脈で拡張すること。

提案手法

• 連続コサイクル関数 c:X→Z を用いて、カントール極小系の位相的フル群 [[φ]] を分析する。ここで ψ(x) = φ^{c(x)}(x) である。
• 群論的技法を適用し、φ がオドメータでない場合に限り、D([[φ]]) がランプライト群を含むことを示す。
• ステルミアン符号の構造とクロージャー集合の力学を用いて、交換子部分群を稠密に生成する2つの生成元を構成する。
• [[φ]] が一様位相において可測フル群 [E] に稠密であることを利用して、群の生成に関する結果を移行する。
• [10] および [9] の群の生成とコストに関する結果を応用し、位相生成元数の上限を精緻化する。
• Aut(X,μ) に一様位相を導入し、距離 d(f,g) = μ({x | f(x) = g(x)}) を用いて、閉包および稠密性の性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極小部分符号の位相的フル群の交換子部分群は指数的成長を示すか？
• RQ2 超有限で測度を保ち、混合的である同値関係の可測フル群は2つの元によって位相的に生成可能か？
• RQ3 [[φ]] の代数的構造と系の動的型（例：オドメータ対部分符号）との関係は何か？
• RQ4 D([[φ]]) にランプライト群が含まれるかどうかは、群の成長タイプとどのように関係するか？
• RQ5 有限コストまたは自由群作用から生じる同値関係の可測フル群の最小位相生成元数は何か？

主な発見

• 極小部分符号の位相的フル群の交換子部分群 D([[φ]]) は、ランプライト群を含むことから、指数的成長を示す。
• ステルミアン符号では、交換子部分群 D([[φ]]) は2つの元で生成される部分群に含まれるため、関連する同値関係の可測フル群は2つの元によって位相的に生成可能である。
• 可算、測度を保ち、混合的で、超有限な同値関係の可測フル群 [E] は2つの元によって位相的に生成可能であり、[9, 問題4.3] に対して肯定的な答えを与える。
• 交換子部分群 D([[φ]]) が有限生成であることは、φ が有限アルファベット上の極小部分符号であることに限り成立し、構造的二分法を確認する。
• オドメータの位相的フル群の任意の有限生成部分群は多項式成長を示すが、これは部分符号とは対照的である。
• 群 [[φ]] は一様位相において可測フル群 [E] に稠密であり、これにより位相的設定から可測設定への群の生成に関する結果を移行可能とする。