[論文レビュー] Some representations of planar Galilean conformal algebra

N. Aizawa|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、(2+1)次元の平面的ガリレオ conformal代数（GCA）の表現理論を、中心拡大を含めて調査する。Kacの行列式の明示的計算を用いて、最高重量が消えない場合に中心拡大された代数上のヴェルマ加群が非可約であることを証明する。さらに、代数およびその関連するリー群の共伴表現を発展させ、共伴軌道の具象例を提示し、将来の軌道分類および物理的応用の基盤を築く。

ABSTRACT

Representation theory of an infinite dimensional Galilean conformal algebra introduced by Martelli and Tachikawa is developed. We focus on the algebra defined in (2+1) dimensional spacetime and consider central extension. It is then shown that the Verma modules are irreducible for non-vanishing highest weights. This is done by explicit computation of Kac determinant. We also present coadjoint representations of the Galilean conformal algebra and its Lie group. As an application of them, a coadjoint orbit of the Galilean conformal group is given in a simple case.

研究の動機と目的

• 無限次元のガリレオ conformal代数の(2+1)時空次元における表現理論を調査すること。
• そのアーベル的アイデアルを非アーベル化する「特異な」中心拡大が代数に存在するかどうかを特定すること。
• 特にヴェルマ加群を含む最高重量表現を分析し、その非可約性を確立すること。
• リー代数およびその関連するリー群の共伴表現を構成すること。
• ガリレオ conformal群の共伴軌道の具象例を提供すること。

提案手法

• 本稿は、平面的ガリレオ conformal代数に中心拡大を導入し、バーチャル・リースター部分代数およびU(1)カレント部分代数に中心荷重αおよびβを追加する。
• 代数の三角的分解を用いて最高重量ベクトルを定義し、ヴェルマ加群を構成する。
• ヴェルマ加群の非可約性を分析するために、Kacの行列式を明示的に計算する。
• リー代数の正規双対空間を用いて共伴表現を定義する。
• 標準的な群作用の公式を用いて、リー代数およびその群の共伴作用を導出する。
• バーチャル・リースター部分群および(ξ, η₁, η₂)部分群の共伴作用を組み合わせることで、特定の共伴軌道を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的ガリレオ conformal代数は、(2+1)次元において、Pₙⁱアイデアルを非アーベル化する「特異な」中心拡大を許容するか？
• RQ2 中心拡大されたガリレオ conformal代数上のヴェルマ加群が非可約となる条件は何か？
• RQ3 無限次元のガリレオ conformal代数およびその群の共伴表現をどのように明示的に構成できるか？
• RQ4 ガリレオ conformal群の簡単な場合における共伴軌道の構造は何か？
• RQ5 ガリレオ conformal群は微分作用素の空間に作用することができるか？ もし可能であれば、その作用の性質は何か？

主な発見

• 最高重量が消えない場合、中心拡大された平面的ガリレオ conformal代数上のヴェルマ加群は、Kacの行列式が非ゼロであるため非可約であることが確認された。
• 代数は「特異な」中心拡大を許容しない。代わりに、バーチャル・リースター部分代数およびU(1)カレント部分代数に標準的な中心拡大が存在し、中心荷重αおよびβを伴う。
• バーチャル・リースター部分群の共伴作用は、シュワーツィアン導関数を含む標準的な変換則によって与えられる。
• (ξ, η₁, η₂)部分群の共伴作用は明示的に計算され、双対成分における回転および平行移動を含む。
• バーチャル・リースター部分群および(ξ, η₁, η₂)部分群の作用を組み合わせることで、特定の共伴軌道が構成され、軌道空間の構造が明確に示された。
• これらの結果は、共伴軌道の完全な分類の基盤を築き、群作用が微分作用素の空間に与える可能性のある物理的応用を示唆している。