[論文レビュー] Galilean conformal algebras in two spatial dimension

N. Aizawa, Yuta Kimura|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 58被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、(2+1)次元時空における無限次元のガリレオ conformal代数 ${\mathfrak{g}}_{\ell}$ について、スピン $\pi$ でラベル付けられた中心拡大の分類と、ヴェルマ加群の既約性を調べる。$P_r^i$ の部分代数がアーベル的であることが示され、非標準的中心拡大が禁止され、整数 $\pi$ の場合に明示的なカック行列式の公式が導出され、最高ウェイトが非ゼロのときヴェルマ加群は既約であり、ゼロのときには非既約であることを証明する。半整数 $\pi$ の場合、すべてのヴェルマ加群はレベル 1/2 に特異ベクトルを持つため、非既約である。

ABSTRACT

A class of infinite dimensional Galilean conformal algebra in (2+1) dimensional spacetime is studied. Each member of the class, denoted by \alg_{\ell}, is labelled by the parameter \ell. The parameter \ell takes a spin value, i.e., 1/2, 1, 3/2, .... We give a classification of all possible central extensions of \alg_{\ell}. Then we consider the highest weight Verma modules over \alg_{\ell} with the central extensions. For integer \ell we give an explicit formula of Kac determinant. It results immediately that the Verma modules are irreducible for nonvanishing highest weights. It is also shown that the Verma modules are reducible for vanishing highest weights. For half-integer \ell it is shown that all the Verma module is reducible. These results are independent of the central charges.

研究の動機と目的

• 無限次元のガリレオ conformal代数 ${\mathfrak{g}}_{\ell}$ が (2+1) 次元時空に属するすべての中心拡大を分類すること。
• 最高ウェイトヴェルマ加群を用いたこれらの代数の表現論を研究すること。
• ヴェルマ加群の既約性の条件を特定すること、特に最高ウェイトとスピン $\pi$ の関係に関して。
• 有限次元と無限次元のガリレオ conformal代数の構造的および表現論的差異を明確にすること、特に中心拡大と特異ベクトルに関する点で。

提案手法

• 代数 ${\mathfrak{g}}_{\ell}$ は、$m \in \mathbb{Z}$, $r \in \mathbb{Z}+\ell$, $i=1,2$ に対して、$L_m$, $J_m$, $P_r^i$ の生成子をもち、特定の交換関係を満たす。
• 中心拡大は、$P_r^i$ の部分代数におけるコサイクル条件の解析により分類され、定理1により、この部分代数には中心拡大が存在しないことが示される。
• ヴェルマ加群は、三角分解 $\tilde{\mathfrak{g}}_{\ell} = \tilde{\mathfrak{g}}_{\ell}^- \oplus \tilde{\mathfrak{g}}_{\ell}^0 \oplus \tilde{\mathfrak{g}}_{\ell}^+$ を用いて構成され、最高ウェイトベクトル $|0\rangle$ は $n,r > 0$ に対して $L_n|0\rangle = J_n|0\rangle = P_r^i|0\rangle = 0$ を満たす。
• 整数 $\ell$ の場合、明示的なカック行列式の公式が導出され、既約性の解析が可能になる。
• 半整数 $\ell$ の場合、特異ベクトル $|v_{\pm}\rangle = (P^{1}_{-1/2} \pm i P^{2}_{-1/2})|0\rangle$ が特定され、すべてのヴェルマ加群の非既約性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2+1次元における無限次元ガリレオ conformal代数は、$P_r^i$ 生成子に対して中心拡大を許容するか？ もし許容するならば、その構造は何か？
• RQ2 整数 $\ell$ の場合、${\mathfrak{g}}_{\ell}$ 上のヴェルマ加群におけるカック行列式の明示的形は何か？
• RQ3 ヴェルマ加群が既約または非既約である条件は何か、特に最高ウェイトがゼロでない場合とゼロの場合の違いに関して。
• RQ4 なぜ半整数 $\ell$ の場合、すべてのヴェルマ加群が非既約なのか？ その背後にある代数的構造的特徴は何か？
• RQ5 $P_r^i$ の部分代数がアーベル的であることは、有限次元の場合のそれと比較して、表現論にどのような影響を与えるか？

主な発見

• $P_r^i$ の部分代数 ${\mathfrak{g}}_{\ell}$ は、定理1により中心拡大を許さない。これは、整数 $\ell$ の有限次元の場合とは対照的であり、その場合、非標準的中心拡大が存在する。
• 整数 $\ell$ の場合、カック行列式の公式が明示的に導出され、最高ウェイトが非ゼロのときヴェルマ加群は既約であり、ゼロのときには非既約であることが示される。
• 整数 $\ell$ の場合、最高ウェイトが非ゼロのときヴェルマ加群は既約であり、ゼロのときには非既約であり、中心荷重に依存しない。
• 半整数 $\ell$ の場合、すべてのヴェルマ加群は、レベル $1/2$ に存在する特異ベクトル $|v_{\pm}\rangle = (P^{1}_{-1/2} \pm i P^{2}_{-1/2})|0\rangle$ の存在により非既約である。中心荷重に依存しない。
• 結果は中心荷重 $c_1$, $c_2$, $c_3$ に依存しない。これは、ヴェルマ加群の既約性の性質が、$P_r^i$ 生成子のアーベル的構造によって支配されていることを示唆する。
• 無限次元の場合に非標準的中心拡大が存在しないことは、有限次元ガリレオ conformal代数とは対照的であり、整数 $\ell$ の場合にそのような拡大が存在する。