[論文レビュー] Some results about the geometric Whittaker model

Roman Bezrukavnikov, Alexander Braverman+1 more|ScholarWorks@UMassAmherst (University of Massachusetts Amherst)|Oct 16, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正標数における幾何学的ラングランズ理論において、非退化な特徴 χ:U→G_a に対する ℓ-進層の平均化ファンクターが、ヴェルディエ双対性と可換となる条件を確立する。2つの場合について証明する：(1) χ が強く非退化であるとき、任意の G-代数的多様体 X とその上の ${\overline{P}}$-不変層に対して、(2) P がボレル部分群であるとき、G 自身とその上のアドジョイント作用に関する不変層に対して、B. C. ノーの予想を確認する。主な結果は、これらの条件下で !-平均化ファンクターと *-平均化ファンクターの同型である。

ABSTRACT

Let G be an algebraic reductive group over a an algebraically closed field of positive characteristic. Choose a parabolic subgroup $P$ in $G$ and denote by $U$ its unipotent radical. Let $X$ be a $G$-variety. The purpose of this paper is to give two examples of a situation in which the functor of averaging of l-adic sheaves on $X$ with respect to a generic character of $U$ commutes with Verdier duality. In the first example we take $χ$ to be an arbitrary $G$-variety and we prove the above property for all $\overline{P}$-equivariant sheaves on $X$ where $\overline{P}$ is an opposite parabolic subgroup assuming $χ$ satisfies a strong nondegeneracy condition (such a $χ$ exists for some but not all choices of $P$). In the case when $P$ is a Borel subgroup it is enough to require that the sheaf in question is $\overline{U}$ equivariant where $\overline{U}$ is the unipotent radical of $\overline{P}$. In the second example we take $X = G$ where $G$ acts by left translations and we prove the corresponding result when $P$ is a Borel subgroup for sheaves equivariant under the adjoint action of $G$ (the latter result was conjectured by B. C. Ngo who proved it for $G = GL(n)$). As an application we reprove a theorem of N. Katz and G. Laumon about local acyclicity of the kernel of the Fourier-Deligne transform.

研究の動機と目的

• 正標数における幾何的ラングランズ理論において、特徴 χ:U→G_a に関する ℓ-進層の平均化ファンクターがヴェルディエ双対性と可換となる条件を確立すること。
• 正標数 p>h の体上の再帰的群 G に対して、χ が非退化であるとき、!-平均化ファンクターと *-平均化ファンクターが同型であることを証明すること。
• P がボレル部分群であるとき、G 上のアドジョイント作用に関する不変層に対して、平均化ファンクターがヴェルディエ双対性と可換であるという B. C. ノーの予想を検証すること。
• 双対性可換性を用いて、フーリエ＝デリーニュ変換の核に関するネイソン＝カッツとローモンの局所的斎次定理を再証すること。

提案手法

• k-スキーム S 上の ℓ-進層の導来圏 D^b(S) における perverse 層の理論と幾何的サタケ同型を用いる。
• 乗法写像 m:G×G→G を通じて定義される畳み込みファンクター ⋆ と ∗ の応用。
• 関連する元 e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}}) を用いた非退化特徴 χ:U→G_a の定義と、その有理的リチャードソン性。
• G/{\overline{P}} 内の開軌道 Y_{{\overline{P}}}^0 における U と同型化を用いて、W_{{\overline{P}}}^0 に新しい G-作用（共役による）を定義する。
• 補題 3.6 を応用し、共役による作用の変更に対して平均化ファンクターが不変であることを示し、標準的作用への還元を可能にする。
• アドジョイント作用に関する不変性とフラッグ多様体の構造を活用して、!-平均化ファンクターと *-平均化ファンクターの同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-多様体上の ℓ-進層に対して、特徴 χ:U→G_a に関する平均化ファンクターがヴェルディエ双対性と可換となる条件は何か？
• RQ2 G 自身にアドジョイント作用に関して不変な層に対して、!-平均化ファンクターと *-平均化ファンクターが同型となる条件は何か？
• RQ3 χ の非退化性は、関連する e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}}) が有理的リチャードソン的であることを意味するか？
• RQ4 双対性可換性を用いて、フーリエ＝デリーニュ変換の核の局所的斎次性を再証できるか？
• RQ5 !-平均化ファンクターと *-平均化ファンクターの同型は、任意のパラボリック部分群 P に対して成り立つか、それとも特定の条件下でのみ成立するか？

主な発見

• χ が強く非退化であるとき、任意の G-多様体 X とその上の ${\overline{P}}$-不変層に対して、平均化ファンクター Av_{U,χ,!} と Av_{U,χ,*} は同型である。
• P がボレル部分群であるとき、${\overline{U}}$-不変層に対して同型が成り立ち、これは ${\overline{P}}$-不変性よりも弱い条件である。
• X=G でアドジョイント作用を考える場合、任意の非退化 χ に対して、同型 Av_{U,χ,!}≅Av_{U,χ,*} が成り立つ。これは B. C. ノーの予想を確認する。
• 特徴 χ が非退化であることと、関連する e_χ∈Lie(U_{{\overline{P}}}) が有理的リチャードソン的であることは同値である。
• 共役による作用の導入と補題 3.6 の応用により、標準的作用への還元が可能となり、これにより定理 1.5(2) を適用して同型を結論づけることができる。
• 双対性可換性を用いた証明法により、N. カッツと G. ローモンによるフーリエ＝デリーニュ変換の核に関する局所的斎次定理が再証される。