[論文レビュー] Some results from algebraic geometry over Henselian real valued fields

Krzysztof Jan Nowak|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ランク1のヘンゼル的実値付値体へ代数幾何を拡張し、射影や吹き上げの定義可能閉性、特異点解消のための降下性質、連続的かつ恒等的有理関数の拡張といった基礎的結果を確立する。パースによる量化子除去を用いて、p進および実幾何の結果を非局所コンパクトなヘンゼル的体へ一般化する。

ABSTRACT

This paper develops algebraic geometry over Henselian real valued (i.e. of rank 1) fields $K$, being a sequel to our paper about that over Henselian discretely valued fields. Several results are given including: a certain concept of fiber shrinking (a relaxed version of curve selection) for definable sets, the canonical projection $K^{n} imes K\mathbb{P}^{m} o K^{n}$ and blow-ups of the $K$-points of smooth $K$-varieties are definably closed maps, a descent property for blow-ups, a version of the Lojasiewicz inequality for continuous rational functions and the theorem on extending continuous hereditarily rational functions, established for the real and $p$-adic varieties in our joint paper with J. Kollar. The descent property enables application of desingularization and transformation to a normal crossing by blowing up in much the same way as over the locally compact ground field. Our approach applies quantifier elimination due to Pas.

研究の動機と目的

• 離散的付値体に関する先行研究を拡張し、ランク1のヘンゼル的実値付値体上での代数幾何の枠組みを構築すること。
• 滑らかなK代数的多様体のK点に関して、射影や吹き上げの定義可能閉性といった基礎的幾何的性質を確立すること。
• ロジャシエフスキーの不等式や連続的かつ恒等的有理関数の拡張といった、実幾何およびp進幾何の主要結果を、非局所コンパクトなヘンゼル的設定へ一般化すること。
• 局所コンパクト体上の手法に類似した方法で、吹き上げの降下性を用いて特異点解消および正則交叉の変換を可能にする。
• モデル理論的設定において定義可能性および位相的閉包に関する結果を証明するために、パースによる量化子除去技法を適用すること。

提案手法

• ヘンゼル的実値付値体におけるマクインタイアとパースの言語の量化子除去を用い、定義可能な集合や関数を分析する。
• 定義可能な写像におけるファイバーの制御を可能にする、「ファイバー収縮」と呼ばれる緩い曲線選択原理を導入する。
• 標準的射影 $ K^n imes Kb{P}^m o K^n $ が定義可能閉写像であることを証明し、射影バンドルに対しても位相的制御を拡張する。
• 滑らかなK代数的多様体の吹き上げが、そのK点上で定義可能閉写像を誘導することを確立し、定義可能なカテゴリーにおける幾何的特異点解消に不可欠である。
• 吹き上げのための降下性質を構築し、局所的特異点解消技法を用いて、グローバルに正則交叉の除数へ変換することを可能にする。
• モデル理論的手法を用いて、連続的かつ恒等的有理関数を拡張し、実幾何およびp進幾何からの結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1のヘンゼル的実値付値体上での代数幾何において、射影や吹き上げの定義可能閉性を確立できるか？
• RQ2 この設定において、吹き上げを用いて特異点解消および正則交叉の除数への変換をどの程度達成できるか？
• RQ3 非局所コンパクトなヘンゼル的体上では、連続的有理関数の性質やロジャシエフスキーの不等式はどのように振る舞うか？
• RQ4 この文脈において、吹き上げの降下性を定式化し、証明できるか。これにより、グローバルな幾何的変換が可能になるか？
• RQ5 パースの量化子除去は、実幾何およびp進幾何の結果をヘンゼル的実値付値体へどの程度移行可能にするか？

主な発見

• 標準的射影 $ K^n imes Kb{P}^m o K^n $ は定義可能閉写像である。これにより、定義可能な族に対する位相的制御が保証される。
• 滑らかなK代数的多様体の吹き上げは、そのK点上で定義可能閉写像を誘導する。これは、定義可能なカテゴリー内での幾何的特異点解消を可能にする。
• 吹き上げのための降下性質が確立され、局所コンパクトの場合と類似した方法で、正則交叉の除数への変換が可能になる。
• 連続的有理関数に対して、ランク1のヘンゼル的実値付値体上でもロジャシエフスキーの不等式のバージョンが成り立つ。
• 連続的かつ恒等的有理関数は、ヘンゼル的実値付値体上でも連続的に拡張可能であり、実幾何およびp進幾何からの結果を一般化する。
• この枠組みにより、定義可能閉性および降下性に依拠して、特異点解消および正則交叉の解消が吹き上げを用いて可能になる。