[論文レビュー] Some Results on an Affine Obstruction to Reach Control

Melkior Ornik, Mireille E. Broucke|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元および3次元のアフィンシステムにおいて、アフィンフィードバックを用いて到達制御問題（RCP）を解くための必要条件として、幾何的コーン条件を確立する。アフィンフィードバックがコーン条件を満たし、単体内で均衡点を避けることが可能であることは、特定の幾何的配置（制御部分空間と外部法線に関連するもの）が単体内に消えないベクトル場を許容する場合に限り成立することを証明し、低次元におけるアフィン障害問題を解決する。

ABSTRACT

This ArXiv paper is a supplement to [7] and contains proofs of preliminary claims omitted in [7] for lack of space. The paper deals with exploring a necessary condition for solvability of the Reach Control Problem (RCP) using affine feedback. The goal of the RCP is to drive the states of an affine control system to a given facet of a simplex without first exiting the simplex through other facets. In analogy to the problem of a topological obstruction to the RCP for continuous state feedback studied in [7], this paper formulates the problem of an affine obstruction and solves it in the case of two- and three-dimensional systems. An appealing geometric cone condition is identified as the new necessary condition.

研究の動機と目的

• アフィン状態フィードバックを用いた到達制御問題（RCP）の可解性に対する必要条件を同定すること。
• 2次元および3次元システムにおけるRCPのアフィン障害問題を定式化し、解くこと。
• 単体内での均衡点を避けるアフィンフィードバックの存在に関する主要基準として、幾何的コーン条件を確立すること。
• 従来の位相的結果を補完する形で、低次元ケースにおけるアフィンフィードバック問題の可解性を構成的証明すること。
• 従来の条件を満たさない2次元集合として単体と交差する制御部分空間を持つ3次元における、未解決の残りのケースを解消すること。

提案手法

• アフィンフィードバックが他の側面を通じて出口側面に到達する前に出口側面から脱出しないように、軌道を駆動する問題としてRCPを定式化する。
• 単体内の各点 $x$ における内部指向コーン $\mathcal{C}(x)$ を定義し、それらが単体内にとどまるか $\mathcal{F}_0$ を通じて脱出する方向を表す。
• アフィンフィードバック下での閉ループ均衡点の唯一の可能な位置を $\mathcal{O}_{\mathcal{S}} = \mathcal{S} \cap \{x \mid Ax + a \in \mathrm{Im}(B)\}$ として特定する。
• すべての $x \in \mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ に対して $f(x) \in \mathcal{C}(x)$ かつ $f(x) \neq 0$ を満たすアフィン写像 $f: \mathcal{O}_{\mathcal{S}} \to \mathrm{Im}(B)$ が存在することを要請する。
• 2次元および3次元において、$\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ の頂点におけるベクトルを割り当てることで、線形代数を用いてそのような写像を構成する。これらのベクトルはコーン条件を満たし、線形独立である。
• 初期のベクトルがコーン条件を満たさない場合に備え、ベクトルの組み合わせ（例：$b_1' = b_1 - c b_2$）を用いた摂動技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような幾何的条件下で、単体内で均衡点を避け、コーン条件を満たすアフィンフィードバックが存在するか？
• RQ2 2次元および3次元システムにおいて、RCPのアフィン障害は構成的に解消可能か？
• RQ3 制御部分空間 $\mathrm{Im}(B)$ と外部法線 $h_j$ は、アフィンフィードバックによるRCPの可解性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 どのようにすれば、$\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 内で常にゼロでないかつコーン条件を満たすアフィンフィードバック写像を体系的に構成できるか？
• RQ5 3次元において $\dim \mathcal{O}_{\mathcal{S}} = 2$ かつ $\dim \mathcal{B} = 2$ の場合、かつ従来の定理でカバーされていない場合、RCPの可解性の状態は何か？

主な発見

• 制御部分空間と外部法線が特定の幾何的配置を満たす場合、特に $B$ の像が2次元で、かつ $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ が従来の定理を満たさない2次元集合である場合、コーン条件を満たし単体内で均衡点を避けるアフィンフィードバックが存在する。
• 本稿は、3次元において $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ の頂点に、それぞれの内部指向コーン内にあり、かつ線形独立なベクトルを割り当てることで、明示的なアフィンフィードバック写像を構成する。これにより、非ゼロの挙動が保証される。
• 初期の制御ベクトルがコーン条件を満たさない場合に備え、$b_1' = b_1 - c b_2$ を用いた摂動技術により、妥当なフィードバックの構成が可能になる。特に $b_1 \cdot h_1 = 0$ または $b_2 \cdot h_1 = 0$ の場合に有効である。
• 写像のアフィン性とコーン条件の凸性により、解が頂点から $\mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ 全体に拡張可能であることが証明される。
• 本稿は、3次元における最後の未解決ケースを解消し、$\dim \mathcal{O}_{\mathcal{S}} = 2$、$\dim \mathcal{B} = 2$、かつ $v_0 \notin \mathcal{O}_{\mathcal{S}}$ である限り、アフィン障害問題が常に解けることを証明する。ただし、定理15の条件が満たされていない場合に限る。
• 主な結果は、このようなフィードバックの存在が、各点で $\mathcal{C}(x)$ 内にあり、ゼロでないベクトル場の存在と同値であるということである。このベクトル場の存在は、線形代数を用いた構成的証明によって確立されている。