[論文レビュー] Some results on homology of Leibniz and Lie n-algebras

J. M. Casas, Emzar Khmaladze+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、半アーベルホモロジーと圏論的ガロア理論を用いて、LeibnizおよびLie $n$-代数のホモロジーを計算する圏論的枠組みを確立する。両構造における高次Hopf公式を提示し、Lie $n$-代数の部分変種に関する相対ホモロジーを定義し、完全性条件の下で普遍的中心拡張が存在することを証明する。

ABSTRACT

From the viewpoint of semi-abelian homology, some recent results on homology of Leibniz n-algebras can be explained categorically. In parallel with these results, we develop an analogous theory for Lie n-algebras. We also consider the relative case: homology of Leibniz n-algebras relative to the subvariety of Lie n-algebras.

研究の動機と目的

• 半アーベルホモロジー代数を用いて、LeibnizおよびLie $n$-代数のホモロジーを統一的な圏論的枠組みで発展させること。
• Lie $n$-代数の場合に $\mathsf{d}_{n-1}$ に類似するファンクターが存在しないという欠如を、圏論的ガロア理論を用いて補うこと。
• LeibnizおよびLie $n$-代数における $m$-重中心拡張の特徴づけを、高次ホモロジー計算に用いること。
• 中心拡張を用いて、LeibnizおよびLie $n$-代数におけるホモロジーの高次Hopf公式を導出すること。
• Leibniz $n$-代数のLie $n$-代数の部分変種に関する相対ホモロジーを定義し、その研究を行うこと。

提案手法

• 半アーベル圏の枠組みを採用し、コモノイドおよび圏論的ガロア理論を用いてホモロジーを一般化すること。
• モアの正規化ファンクター $N$ を用いて、単体的対象に対してホモロジー対象 $H_m(A, I)_{\mathbb{G}} = H_m(NI\mathbb{G}A)$ を定義すること。
• ${}_{n}\mathsf{Lb}$ および ${}_{n}\mathsf{Lie}$ における $m$-重中心拡張を、引き戻し安定性および中心性条件によって特徴づけること。
• 高次次元の中心拡張を用いて、ホモロジーの高次Hopf公式を導出し、Čech導来ファンクターの代わりにすること。
• 核の消失条件 $H_1 = H_2 = 0$ を用いて、Lie $n$-代数の場合に普遍的中心拡張を構成すること。
• LeibnizおよびLie $n$-代数における普遍的中心拡張のホモロジー群の間の短完全系列を確立し、その核がホモロジー群の $n$-項交換子と同型であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie $n$-代数のホモロジーは、$\mathsf{d}_{n-1}$ に類似するファンクターが存在しない状況において、どのように体系的に定義され、計算可能となるか？
• RQ2 LeibnizおよびLie $n$-代数の圏における $m$-重中心拡張の圏論的特徴づけは何か？
• RQ3 同じ圏論的道具立てを用いて、LeibnizおよびLie $n$-代数におけるホモロジーの高次Hopf公式を導出可能か？
• RQ4 Leibniz $n$-代数のLie $n$-代数の部分変種に関する相対ホモロジーの構造は何か？
• RQ5 完全性条件の下で、LeibnizおよびLie $n$-代数の文脈における普遍的中心拡張はどのように関係しているか？

主な発見

• 圏論的ガロア理論を用いて、Leibniz $n$-代数のホモロジーの高次Hopf公式が回復され、Quillenホモロジーと同値であることが確認された。
• ${}_{n}\mathsf{Lb}$ における $m$-重中心拡張の特徴づけが提示された（命題3.4および3.6）、これにより中心拡張を用いたホモロジー計算が可能になった。
• ${}_{n}\mathsf{Lie}$ における中心拡張の類似特徴づけが確立された（命題4.1）、これにより高次Hopf公式が導出可能となった（定理4.2）。
• Leibniz $n$-代数のLie $n$-代数の部分変種に関する相対ホモロジーが中心拡張を用いて特徴づけられた（命題5.4および5.6）、これにより相対Hopf公式が得られた（定理5.7）。
• Leibniz $n$-代数 $\mathscr{L}$ に対して普遍的 ${}_{n}\mathsf{Lie}$-中心拡張が存在するための必要十分条件は、$H_1(\mathscr{L},{}_{n}\mathsf{lie})_{\mathbb{G}} = H_2(\mathscr{L},{}_{n}\mathsf{lie})_{\mathbb{G}} = 0$ である（命題6.6）。
• LeibnizおよびLie $n$-代数における普遍的中心拡張のホモロジー群の間の短完全系列が確立され、その核がホモロジー群の $n$-項交換子と同型であることが示された（命題6.7）。