[論文レビュー] On the infinity category of homotopy Leibniz algebras

David Khudaverdyan, Norbert Poncin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、完全なLeibniz ∞-代数のナーヴが準カテゴリをなすこと、および ∞-ホモトピーが n-単体として実現されることを示すことにより、ホモトピー的Leibniz代数に ∞-圏構造を確立する。2-term Leibniz ∞-代数の場合、この ∞-圏的構造は厳密な2-圏に射影され、既知のホモトピー的合成と2-射の結果を回復・一般化する。

ABSTRACT

We discuss various concepts of $\infty$-homotopies, as well as the relations between them (focussing on the Leibniz type). In particular $\infty$-$n$-homotopies appear as the $n$-simplices of the nerve of a complete Lie ${\infty}$-algebra. In the nilpotent case, this nerve is known to be a Kan complex \cite{Get09}. We argue that there is a quasi-category of $\infty$-algebras and show that for truncated $\infty$-algebras, i.e. categorified algebras, this $\infty$-categorical structure projects to a strict 2-categorical one. The paper contains a shortcut to $(\infty,1)$-categories, as well as a review of Getzler's proof of the Kan property. We make the latter concrete by applying it to the 2-term $\infty$-algebra case, thus recovering the concept of homotopy of \cite{BC04}, as well as the corresponding composition rule \cite{SS07}. We also answer a question of \cite{BS07} about composition of $\infty$-homotopies of $\infty$-algebras.

研究の動機と目的

• Leibniz ∞-代数の文脈における ∞-ホモトピーおよびその合成の概念を明確化すること。
• 先行研究において一般的な証明が与えられていない中で、∞-自己準同型の ∞-ホモトピーが合成可能かどうかという未解決問題を解消すること。
• 二次的Koszul型操作子上の ∞-代数のクラスが ∞-圏をなすこと、特にLeibniz代数に焦点を当てること。
• Leibniz 2-代数と2-term Leibniz ∞-代数の間の1対1対応を確立し、それらの2-圏が2-同値であることを示すこと。
• Getzlerによる nilpotent ∞-代数のナーヴのKan性の証明を2-termの場合に明示的に行い、既知のホモトピー的合成則を回復すること。

提案手法

• 完全なLie ∞-代数のナーヴ構成を用いて、∞-n-単体を ∞-ホモトピーとして定義し、それらを ∞-自己準同型の畳み込み代数におけるMaurer-Cartan要素としてモデル化する。
• GetzlerのKan性の証明を2-term Leibniz ∞-代数の状況に適用し、ナーヴがKan複体であることを示す。
• 完全な畳み込みLie ∞-代数におけるMaurer-Cartan要素のゲージ的またはQuillen的ホモトピーとして ∞-ホモトピーを特徴付ける。
• 単体的de Rham代数を用いて ∞-ホモトピーを定義し、それらを同調的（concordance）およびQuillenホモトピーと比較する。
• ∞-自己準同型をMC要素として実現し、それらの間のホモトピーを ∞-ホモトピーとして扱うことで、ホモトピー的Leibniz代数の準カテゴリを構成する。
• 2-termの場合に、∞-ホモトピーの垂直合成が適切に定義され、結合的であることを示すことにより、∞-圏的構造を厳密な2-圏に射影する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Leibniz ∞-代数における ∞-自己準同型の ∞-ホモトピーは合成可能か？ もし可能ならば、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 完全なLeibniz ∞-代数のナーヴは、準カテゴリおよびKan複体とどのように関係するか？
• RQ3 2-term Leibniz ∞-代数とLeibniz 2-代数の間のカテゴリカル構造としての正確な関係は何か？
• RQ4 ∞-代数のナーヴにおける ∞-ホモトピーの合成が、2-termの場合にどのように厳密な2-圏的合成に射影されるか？
• RQ5 GetzlerのKan性の証明を2-term Leibniz ∞-代数の文脈に明示的に展開できるか？ また、それにより既知のホモトピー的合成則が回復されるか？

主な発見

• 完全なLeibniz ∞-代数のナーヴは準カテゴリである。これにより、∞-代数のクラスに ∞-圏的構造が確立される。
• 2-term Leibniz ∞-代数の場合、∞-ホモトピーの ∞-圏的構造は、適切に定義され、結合的である垂直合成を持つ厳密な2-圏に射影される。
• この論文は、Shoikhet（2008）の問いに答え、ナーヴ構成を用いて ∞-自己準同型の ∞-ホモトピーが合成可能であることを示すが、一般には厳密に結合的ではない。
• 2-termの場合に、[BC04]および[SS07]におけるホモトピー的合成則が回復され、先行研究と整合性が確認される。
• Leibniz 2-代数と2-term Leibniz ∞-代数の間には1対1対応があり、それらの2-圏は2-同値である。
• 2-termの場合に、ナーヴのKan性が明示的に検証され、抽象的な準カテゴリ構造の明示的実現が得られる。