[論文レビュー] Some results on non-self-adjoint operators, a survey

Johannes Sjoestrand|ArXiv.org|Apr 23, 2008

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本調査は、非自己随伴作用素のスペクトル論における最近の進展を提示し、クラマース＝フォッカー＝プランク作用素、2次元スペクトル漸近、および小さな確率的摂動下でのウェイ配漸近に焦点を当てる。本研究では、このような作用素の固有値分布が、主記号下でのシンプレクティック体積のプッシュフォワードに収束することを確立し、擬スペクトル解析と確率的行列技法を用いて、解析的状況における非ウェイ配挙動を解消する。

ABSTRACT

This text is a survey of recent results obtained by the author and collaborators on different problems for non-self-adjoint operators. The topics are: Kramers-Fokker-Planck type operators, spectral asymptotics in two dimensions and Weyl asymptotics for the eigenvalues of non-self-adjoint operators with small random perturbations. In the introduction we also review the notion of pseudo-spectrum and its relation to non-self-adjoint spectral problems.

研究の動機と目的

• 標準的スペクトル論が失敗する状況において、擬スペクトルを用いて非自己随伴作用素のスペクトル不安定性を分析すること。
• 小さな確率的摂動下での非自己随伴作用素の固有値分布に対してウェイ漸近を確立すること。
• 有理的およびディオファントス的トーラスを伴う2次元設定にスペクトル漸近を拡張し、ボーア＝ソルマーフェルト則を一般化すること。
• 擬スペクトルが固有値不安定性および時間発展問題における一時的成長に果たす役割を明確化すること。
• 確率的摂動が、元来ウェイ漸近が成立しない解析的作用素においても、ウェイ漸近を回復させることを示すこと。

提案手法

• スペクトル不安定性を、リゾルベントノルムが $1/\epsilon$ を超える点の集合として定義し、擬スペクトル理論を用いて数値的および力学的不安定性と関連付ける。
• 複素スケーリングおよびスパントリックティック技術を用いて、クラマース＝フォッカー＝プランク型作用素のスペクトルを分析し、平衡への回帰結果を証明する。
• 微局所解析および準モード構成を用いて、一般状況下で、固有値がスペクトルから遠く離れた開いた複素集合に集積しうることを示す。
• 確率的摂動 $P_\delta = P + \delta Q_\omega$ を用いて統計的固有値分布をモデル化し、$E_{-+}^\delta$ をガウス型の要素を有する確率的行列として扱う。
• ハーガーの正則関数の零点数え上げに関する結果を適用し、固有値密度を位相空間上での $\ln|p_z|$ の積分と関連付ける。
• リゾルベントおよび行列式の摂動展開をシンプレクティック幾何学と組み合わせ、$ (2\pi h)^{-n} p_*(dv) $ を通じて漸近的固有値密度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己随伴作用素の擬スペクトルは、関連する時間発展半群 $e^{-tP}$ の一時的挙動にどのように影響するか？
• RQ2 解析的係数を有する非自己随伴微分作用素に対して、ウェイ漸近がどのような条件下で失敗し、確率的摂動によって回復可能か？
• RQ3 主記号が有理的またはディオファントス的トーラスを持つ場合、2次元における固有値の漸近的分布は何か？
• RQ4 スペクトルから遠く離れた複素平面上の点に対しても、非自己随伴作用素に対して準モードを構成可能か？
• RQ5 確率的摂動 $\delta Q_\omega$ は固有値分布にどのように影響し、その主要な漸近的密度は何か？

主な発見

• 解析的係数を有する非自己随伴作用素では、固有値がウェイ漸近に従わないことがある。例えば、複素調和振動子では、固有値が半直線に閉じ込められる。
• 小さな確率的摂動の下で、非自己随伴作用素の固有値は主記号 $p$ の範囲に、密度 $ (2\pi h)^{-n} p_*(dv) $ で分布し、ウェイ漸近が回復する。
• 擬スペクトルは数値的および力学的不安定性を説明する：スペクトルが安定であっても、擬スペクトル効果により $\|e^{-tP}\|$ が急激に増大する。
• 2次元では、ボーア＝ソルマーフェルト則を用いてスペクトル漸近が確立され、ディオファントス的および有理的トーラスの状況で異なる挙動を示す。
• 摂動作用素 $P_z^\delta$ の行列式は、$ \ln|\det P_z^\delta| = (2\pi h)^{-n} \iint \ln|p_z| \, dx d\xi + {\cal O}(h^\kappa \ln(1/h)) $ を満たし、固有値分布を位相空間積分と関連付ける。
• 高確率で、確率的行列 $E_{-+}^\delta$ は $\ln|\det E_{-+}^\delta|$ に下界をもたらし、$h \to 0$ の極限で固有値密度がウェイ則と一致することを保証する。