[論文レビュー] Some results on the penalised nematic liquid crystals driven by multiplicative noise

Zdzisław Brzeźniak, Erika Hausenblas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、乗法的ノイズ下でのペナルティ付きネマチック液体結晶をモデル化する確率的偏微分方程式系の解の存在と一意性を確立する。2次元では、グローバル弱解とパスごとの一意性を証明し、標準的なギンツブルク＝ランダウペナルティの一般多項式置換と、混合バナッハ空間における新規な固定点法を用いて、局所的強い解が2次元でグローバルに成立することを示す。

ABSTRACT

In this paper we prove several results related to the existence and uniqueness of solution to coupled highly nonlinear stochastic partial differential equations (PDEs). These equations are motivated by the dynamics of nematic liquid crystals under the influence of stochastic external forces. Firstly, we prove the existence of global weak solution (in sense of both stochastic analysis and PDEs). We show the pathwise uniqueness of the solution in 2D domain. Secondly, we establish the existence and uniqueness of local maximal solution which is strong in sense of both PDEs and stochastic analysis. In the 2D case, we show that this solution is global. In contrast to several works in the deterministic setting we replace the Ginzburg-Landau function ${1}_{\lvert \mathbf{n} vert \le 1}(\lvert \mathbf{n} vert^2-1)\mathbf{n}$ by a general polynomial $f(\mathbf{n})$ and we give sufficient conditions on the polynomial $f$ for the aforementioned results to hold. As a by-product of our investigation we present a general method based on fixed point argument to establish the existence and uniqueness of a local maximal solution of an abstract stochastic evolution equations with coefficients satisfying local Lipschitz condition involving the norms of two different Banach spaces. This general method can be used to treat several stochastic hydrodynamical models such as Navier-Stokes, Magnetohydrodynamic (MHD) equations, and the $α$-models of Navier-Stokes equations and their MHD counterparts.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズ下でのネマチック液体結晶の確率的モデルに対する解の存在と一意性を確立すること。
• 標準的なギンツブルグ＝ランダウペナルティ項を一般多項式 $ f(\mathbf{n}) $ に置き換え、適切な性質を満たす $ f $ の十分条件を同定することにより、well-posedness を一般化すること。
• 局所リプシッツ条件を満たす係数をもつ2つの異なるバナッハ空間における抽象的確率的発展方程式に対して、一般固定点法を開発すること。
• この手法を、ナビエ＝ストークス方程式、MHD方程式、$\alpha$-モデルを含む、さまざまな確率的流体力学的モデルに拡張すること。
• 2次元におけるパスごとの一意性およびグローバル解の存在を証明し、非放物型および高次非線形性の課題を克服すること。

提案手法

• 標準的な $ \mathbf{n}(|\mathbf{n}|^2 - 1) $ を一般多項式 $ f(\mathbf{n}) $ に置き換えた、乗法的ノイズを伴うネマチック液体結晶のペナルティ付き確率的系を定式化する。
• 適切なバナッハ空間の積空間における固定点法を用いて、局所的最大解の存在と一意性を証明する。
• 伊藤の公式と重み付き指数マルティングルの因子 $ \Phi(t) = \exp\left(-\int_0^t \phi(s)ds\right) $ を用いたエネルギー推定により、解の成長を制御する。
• バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディーの不等式とヤングの不等式を用いて、確率積分を扱い、ノイズ項を制御する。
• エネルギー推定にグローバルの不等式を適用し、モーメントバウンドを導出し、パスごとの一意性を確立する。
• 系の構造とペナルティ項の性質を活用して、解が適切な関数空間に留まることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般多項式 $ f(\mathbf{n}) $ がどのような条件下で、ネマチック液体結晶のペナルティ付き確率的系にグローバル弱解をもつのか。
• RQ2 2次元領域における乗法的ノイズ下で、確率的ネマチック液体結晶系に対してパスごとの一意性を確立できるか。
• RQ3 局所リプシッツ条件を満たす係数をもつ2つのバナッハ空間における抽象的確率的偏微分方程式に対して、局所的最大解の存在と一意性を証明する一般的手法は何か。
• RQ4 標準的なギンツブルグ＝ランダウペナルティを一般多項式に置き換えると、系のwell-posedness にどのような影響を与えるか。
• RQ5 確率的ネマチック液体結晶系の局所的強い解は、2次元でグローバルに成立するか。

主な発見

• 本稿は、2次元および3次元領域におけるペナルティ付き確率的ネマチック液体結晶系に対して、グローバル弱解の存在を証明する。
• 2次元では解のパスごとの一意性が確立され、局所的強い解の存在と組み合わせて、2次元におけるグローバル解の存在が示される。
• 多項式 $ f(\mathbf{n}) $ にやや厳しい条件が課されても、局所的最大強い解が、確率解析および偏微分方程式の両の意味で一意に存在する。
• 解は2次元でグローバルに成立し、与えられた仮定のもとで、時間区間 $ (0,T] $ 全体にわたるwell-posedness の結果が拡張される。
• 多項式 $ f(\mathbf{n}) $ に対して、多項式成長や正則性などの十分条件を提示し、解の存在と一意性を保証する。
• 一般固定点法が開発され、抽象的確率的発展方程式に応用され、ナビエ＝ストークス方程式、MHD方程式、$\alpha$-モデルに対しても乗法的ノイズを伴う解析に応用可能である。