[論文レビュー] Some Solutions of Fractional Order Partial Differential Equations Using Adomian Decomposition Method

Iqra Javed, Ashfaq Ahmad+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、アトミアン分解法（ADM）を用いて、カプート型微分を伴う非線形分数マージナル偏微分方程式（PDE）を解く。解は収束級数として表現される。正確な解との比較において、高い精度と収束性を示し、数値的および解析的文脈において分数マージナルPDEに有効であることを確認した。

ABSTRACT

The Adomian decomposition method is a semi-analytical method for solving ordinary and partial nonlinear differential equations. The aim of this paper is to apply Adomian decomposition method to obtain approximate solutions of nonlinear fractional order partial differential equations with fractional derivatives. The fractional derivatives are taken in the sense of Caputo. The solutions of fractional PDEs are calculated in the form of convergent series. Approximate solutions obtained through the decomposition method have been numerically evaluated, and presented in the form of graphs and tables, and then these solutions are compared with the exact solutions and the results rendering the explicitness, effectiveness and good accuracy of the applied method. Finally, it is observed that the applied method (i.e. Adomian decomposition method) is prevailing and convergent method for the solutions of nonlinear fractional-order partial deferential problems.

研究の動機と目的

• 非線形分数マージナル偏微分方程式を解くためのアトミアン分解法（ADM）の開発および適用を行う。
• カプート微分を伴う分数マージナルPDEのADM解の収束性と精度を調査する。
• 数値表および図的表現を用いて、近似ADM解と正確な解を比較する。
• 複雑な分数マージナルPDEを扱う際のADMの有効性と信頼性を検証する。
• 多様な非線形性および分数マージナル次数を有する複数のテストケースを通じて、この手法の適用可能性を示す。

提案手法

• 非線形分数マージナルPDEを、再帰的成分に分解するためのアトミアン分解法が用いられる。
• 分数マージナル微分はカプートの意味で定義され、古典的初期条件の使用が可能になる。
• 解は、非線形項のためのアトミアン多項式を用いて逐次的に計算される成分の無限級数として表現される。
• この手法は、元のPDEを、標準的な解析的または数値的技法で解ける線形部分問題の再帰的系列に変換する。
• 級数解の収束性が分析され、計算ツールを用いた数値的評価が実施される。
• 近似ADM解と正確な解を比較するための図および表が作成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アトミアン分解法は、非線形分数マージナルPDEの近似解を効果的に生成できるか？
• RQ2 分数マージナルPDEの正確な解と比較して、ADM解の精度はどの程度か？
• RQ3 さまざまな分数マージナルPDEに対して、ADM解は速やかにかつ信頼性高く収束するか？
• RQ4 異なる分数マージナル次数および非線形項が解の挙動に与える影響は何か？
• RQ5 ADM解の図的および表的表現は、その精度と安定性をどのように反映しているか？

主な発見

• ADMは、カプート微分を伴う非線形分数マージナルPDEに対して収束級数解を生成する。
• 数値的評価において、正確な解と比較してADMによる近似解は極めて高い精度を示し、誤差が最小限に抑えられる。
• 図的および表的結果は、正確な解との視覚的整合性と信頼性を確認する。
• さまざまな分数マージナル次数および非線形項を含む複数のテストケースにおいて、この手法は頑健性を示す。
• アトミアン分解法は、複雑な分数マージナルPDEを解く有効的かつ収束性のある手法であると確認された。
• 本研究は、非線形分数マージナル微分方程式を扱う際の、この手法の明示的かつ計算効率の良さを検証した。