[論文レビュー] Fractional Calculus: Some Basic Problems in Continuum and Statistical Mechanics

Francesco Mainardi|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 106被引用数 881

ひとこと要約

本稿では、連続体および統計力学における複雑なダイナミクスを記述するために分数階微積分を適用し、古典的な線形粘弾性モデルを一般化するための分数階微分を導入することで、Basset問題を解き、分数階拡散波方程式を導出する。主な貢献は、非指数的減衰および異常拡散を記述するためにWright関数とMittag-Leffler関数を用いることで、粘弾性およびブラウン運動における長記憶性とべき乗則的挙動を明らかにすることにある。

ABSTRACT

We review some applications of fractional calculus developed by the author (partly in collaboration with others) to treat some basic problems in continuum and statistical mechanics. The problems in continuum mechanics concern mathematical modelling of viscoelastic bodies (Sect. 1), and unsteady motion of a particle in a viscous fluid, i.e. the Basset problem (Sect. 2). In the former analysis fractional calculus leads us to introduce intermediate models of viscoelasticity which generalize the classical spring-dashpot models. The latter analysis induces us to introduce a hydrodynamic model suitable to revisit in Sect. 3 the classical theory of the Brownian motion, which is a relevant topic in statistical mechanics. By the tools of fractional calculus we explain the long tails in the velocity correlation and in the displacement variance. In Sect. 4 we consider the fractional diffusion-wave equation, which is obtained from the classical diffusion equation by replacing the first-order time derivative by a fractional derivative of order $0< β<2$. Led by our analysis we express the fundamental solutions (the Green functions) in terms of two interrelated auxiliary functions in the similarity variable, which turn out to be of Wright type (see Appendix), and to distinguish slow-diffusion processes ($0 < β< 1$) from intermediate processes ($1 < β< 2$).

研究の動機と目的

• 純粋な弾性と粘性応答の間の中間的材料挙動を捉えるために、分数量微分を導入することで、古典的線形粘弾性モデルを拡張すること。
• 粘性流体中での非定常粒子運動におけるBasset問題を、分数量微積分を用いて流体力学的力の再定式化により解決し、記憶効果を一貫して記述可能にする。
• 分数量微分を組み込むことでブラウン運動を再定式化し、長尾型速度相関関数および非マルコフ的分散を説明すること。
• 分数量微分の次数 β ∈ (0,2) を持つ分数量拡散波方程式を導出し、解析することで、遅い拡散（0 < β < 1）と中間的過程（1 < β < 2）を区別すること。
• 分数量拡散波方程式の基本解をWright型関数で表現し、異常輸送を解析するための解析的ツールを提供すること。

提案手法

• Riemann-Liouville型およびCaputo型の分数量微分を用いて、粘弾性材料の構成方程式を一般化し、整数階微分を α ∈ (0,1) の分数量微分に置き換える。
• Basset方程式にラプラス変換を適用し、Mittag-Leffler関数および分数量緩和カーネルを含む解が得られることを示す。
• 時間微分を次数 β ∈ (0,2) の分数量微分に置き換えることで、時間分数量拡散方程式を導出する。
• 基本解（グリーン関数）をWright関数 W_{-β,1}(−r) で表現し、Mittag-Leffler関数との関係を明らかにする。
• Wright関数 M(r;ν) および W_{−ν,μ}(−r) を含む積分表現とラプラス変換のペアを用い、逆変換および漸近解析を可能にする。
• 0 < ν < 1 の範囲で成り立つWright関数とそのラプラス変換のペア M(r;ν) ↔ E_ν(−s) の性質を活用し、正確な解および漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数量微積分を用いて、古典的スプリング-ダッシュポット系を一般化し、弾性と粘性の間の中間的挙動を記述する中間的粘弾性モデルを構築する方法は何か？
• RQ2 分数量微分は、非定常粒子運動におけるBasset問題をどのように解決し、粘性流体中での記憶効果を記述するか？
• RQ3 分数量微積分は、古典的ブラウン運動理論をどのように修正し、長尾型速度相関関数および非マルコフ的分散を説明するか？
• RQ4 次数 β ∈ (0,2) を持つ分数量拡散波方程式の基本解の解析的性質と物理的解釈は何か？
• RQ5 Wright関数とMittag-Leffler関数は、連続体および統計力学における分数量微分方程式の解として、どのようにして出現するか？

主な発見

• 分数量微積分により、べき乗則的減衰およびクリープ応答を示す粘弾性モデルを構築可能となり、分数量微分を介して弾性と粘性挙動の間を滑らかに補間できる。
• Basset問題の解はMittag-Leffler関数で表現され、長時間における減衰が t^{−β}（β = 1/2）の形をとり、実験的観察と整合的である。
• 0 < β < 1 の分数量拡散波方程式は遅い拡散を記述し、1 < β < 2 では波動的特徴と有限の伝播速度を持つ中間的過程を記述する。
• 分数量拡散波方程式の基本解はWright関数 W_{−β,1}(−r) で与えられ、べき乗則的尾部および非ガウス的挙動を示す。
• 0 < ν < 1 の範囲で成り立つラプラス変換のペア M(r;ν) ↔ E_ν(−s) は、粘弾性および拡散現象における分数量微分方程式を解くための厳密な解析的枠組みを提供する。
• 解の漸近的挙動はMittag-Leffler関数に支配され、β ∈ (0,1) の範囲で速度相関関数の長時間減衰がべき乗則 t^{−β} に従うことが示され、複雑な媒体における異常拡散を説明する。