[論文レビュー] Some sums over the non-trivial zeros of the Riemann zeta function

Jesús Guillera|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン・ゼータ関数の非自明な零点への和を用いて、ボルファング、モービウス、オイラーのトゥイフェント関数などの算術関数の新たな収束する漸近的展開および正確な表現を導出する。有限の零点切り捨てにおいても滑らかで不変なマングルト関数の表現を、ランドーの公式に類似させ構築し、リーマン予想のもとで新たな恒等式を提示する。これには、ゼータ関数の導関数と双曲線関数を含む新しい極限評価が含まれる。

ABSTRACT

We prove some identities, which involve the non-trivial zeros of the Riemann zeta function. From them we derive some convergent asymptotic expansions related to the work by Cramér, and also new representations for some arithmetical functions in terms of the non-trivial zeros.

研究の動機と目的

• リーマン・ゼータ関数の非自明な零点への和を用いて、算術関数の新たな収束的表現を導出すること。
• 有限の零点切り捨てにおいても不変な滑らかな表現を導入することで、マングルト関数のランドーの公式を一般化すること。
• リーマン予想および零点の単純性の下で、これらの結果をモービウス関数およびオイラーのトゥイフェント関数へと拡張すること。
• クレーマーの研究に関する明示的な漸近的展開を導出し、以前の近似を改善すること。
• リーマン予想を仮定して、臨界零点におけるゼータ値およびその導関数を含む新しい極限評価を確立すること。

提案手法

• 双曲正弦および余弦関数の重みをもつ非自明な零点への和を用いて、マングルト関数の新しい恒等式を導出する。この際、x→π⁻における漸近的極限を捉えるために正割関数の因子を含む。
• ゼータ関数の関数方程式およびゼータ関数のハダマール積表現を用いて、ゼータ零点と算術関数との関係を確立する。
• ガンマ関数およびゼータ関数の評価に基づく複素解析的技法を適用し、収束性および漸近的挙動の正当化を図る。
• リーマン＝ジーゲルのシータ関数および正確な零点数え上げ公式を用いて、非自明な零点の分布を分析する。
• ゼータ関連ディリクレ級数の解析接続および級数変形を用いて、モービウス関数およびオイラーのトゥイフェント関数の表現を導出する。
• オドリツコのゼータ零点データベースを用い、SageMathを用いて数値的検証を実施し、計算された和と既知の算術関数との比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マングルト関数の滑らかで収束する表現を、非自明なゼータ零点への和を用いて構築可能か。この表現は、有限の零点切り捨てに対しても不変であり、ランドーの公式に類似するか。
• RQ2 x→π⁻における、sinh(xγ)/sinh(πγ)およびlog tの三角関数を含む非自明な零点への和の正確な漸近的挙動は何か。
• RQ3 リーマン予想のもとで、モービウス関数およびオイラーのトゥイフェント関数をゼータ零点およびその導関数の関数としてどのように表現できるか。
• RQ4 クレーマーの素数分布に関する研究を拡張し、新たな収束する漸近的展開を導出可能か。
• RQ5 臨界零点におけるゼータ値およびその導関数を含む極限式の値は何か。また、算術関数とどのように関係しているか。

主な発見

• リーマン予想のもとで、マングルト関数の新たな表現が導出された：Λ(t) = -4π√t lim_{x→π⁻} [cot(x/2) Σ_{γ>0} (sinh(xγ)/sinh(πγ)) cos(γ log t) ]。
• このΛ(t)の式は、有限の零点和の切り捨てに対しても滑らかで不変である。これは、従来の離散的和とは異なり、より良好な性質を有する。
• オイラーのトゥイフェント関数に対して新たな恒等式が確立された：φ(t) = 4π√t cot(x/2) Σ_{γ>0} [Re(ζ(-1/2+iγ)/ζ’(1/2+iγ)) (sinh(xγ)/sinh(πγ)) cos(γ log t) - Im(...) (cosh(xγ)/sinh(πγ)) sin(γ log t)] + 低次の項。
• 新しい極限評価が証明された：lim_{x→π⁻} Σ_{γ>0} [sinh(xγ)/sinh(πγ)] ( (log 2)/√2 cos(γ log t) - Λ(t)/√t cos(γ log 2) ) = (log 2)/√2 (√t/2 - 1/(2(t²-1)√t)) - Λ(t)/√t (5√2)/12、リーマン予想を仮定して。
• 本稿では、クレーマーの以前の結果を改善する新たな収束する漸近的展開が、非自明な零点への和について導出された。
• SageMathを用い、オドリツコのゼータ零点データベースを用いた数値的検証により、φ(t)およびΛ(t)の導出された公式の収束性および正確性が、t ∈ [2,26] の範囲で確認された。