[論文レビュー] Sp(n,1) admits a proper 1-cocycle for a uniformly bounded representation

Shintaro Nishikawa|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2020

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間上の一様有界表現に対して、適切な1-コサイクルを構成することにより、Sp(n,1)に対するShalomの予想を証明する。2通りのアプローチ——抽象的自動的固有性と、明示的なソボレフ埋込の非連続性——を用いて、Sp(n,1)が一様有界表現を通じて距離的に固有なアフィン作用をもつことを確立し、幾何的群論およびランク1リー群のハーガープ性に関する重要な問題を解決する。

ABSTRACT

We verify Shalom's conjecture for the simple real-rank-one Lie group Sp(n ,1) for any n: i.e. we show that it admits a metrically proper affine action on a Hilbert space whose linear part is a uniformly bounded representation. We provide two different proofs. Both approaches crucially use results on uniformly bounded representations by Michael Cowling. The first approach is quite abstract: it uses an automatic-properness result of Shalom and requires almost no computations. The second approach is explicit: we deduce the properness of cocycles from the non-continuity of a critical case of the Sobolev embedding. This work is inspired from Pierre Julg's work on the Baum--Connes conjecture for Sp(n,1).

研究の動機と目的

• ヒルバート空間上の1様有界表現に対してSp(n,1)が適切な1-コサイクルをもつというShalomの予想を検証すること。
• ハーガープ性を持つ群にとどまらず、カジダンの性質(T)をもつSp(n,1)を含めたa-T-メンアブル性の理解を拡張すること。
• ヒルバート空間上の1様有界表現が、非可換かつランク1のリー群に対して適切な1-コサイクルを支えることができるかという未解決問題を解消すること。
• 2つの異なる証明——Shalomの自動的固有性定理を用いた抽象的証明と、ソボレフ埋込の非連続性に基づく明示的証明——を提供し、結果の堅牢性を示すこと。
• SO₀(n,1)およびSU(n,1)に関する適切なコサイクルの結果をSp(n,1)に一般化し、実ランク1の単純リー群の分類を完成させること。

提案手法

• Shalomの自動的固有性結果を活用：反射的バナッハ空間における非自明な1-コサイクルがコボルディアルでなければ、固有である。
• G/P 上で積分が0の高次の微分形式の空間W₀に、ユークリッドノルムを定義し、表現πの連続性と一様有界性を保証する。
• Michael Cowlingの1様有界表現に関する深い結果を応用し、構築されたノルムに関してπをW₀上で1様有界に実現する。
• 明示的証明では、Busemannコサイクルγ(x,y) = μ_y - μ_x を用い、Γ_{L²}(E*)におけるノルム||(1+Δ_E)^{r/4 - 1/2} d_E γ||を分析する。
• カイリー変換を用いてノルム計算をヘイセンベルク型空間Vの0近傍に移し、特異関数の局所的可積分性への問題の還元を行う。
• ファトウの補題を適用し、t→∞のときL²ノルム||Δ_o^{r/4} log|x*x - y||が発散することを示し、コサイクルの固有性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sp(n,1)は、ヒルバート空間上の1様有界表現に対して適切な1-コサイクルをもつか？
• RQ2 Shalomの抽象的自動的固有性結果は、明示的なノルム推定なしに、固有コサイクルを構成するために適用可能か？
• RQ3 臨界ソボレフ埋込の非連続性は、1様有界設定における1-コサイクルの固有性を示すのに十分か？
• RQ4 カジダンの性質(T)をもつにもかかわらず、Busemannコサイクルが1様有界表現のもとで固有であることが示せるか？
• RQ5 Ω^top_{∫=0}(G/P)上の自然な表現は、ユークリッドノルムを備えたW₀上で一様有界かつ連続になるようにできるか？

主な発見

• Sp(n,1)は、1様有界表現を通じてヒルバート空間上に距離的に固有なアフィン作用をもつ。これにより、この群に対するShalomの予想が確認された。
• 0 → W₀ → Ω^top(G/P) → ℂ → 0 の拡大に関連する1-コサイクルbは、W₀上の適切なユークリッドノルムに関して固有である。
• W₀ = Ω^top_{∫=0}(G/P) 上の表現πは、構築されたユークリッドノルムに関して連続的かつ1様有界である。これはCowlingの結果に依拠している。
• 明示的証明では、d_Z(x,y) → ∞ のとき||(1+Δ_E)^{r/4 - 1/2} d_E γ|| → ∞ であることが示され、Δ_o^{r/4} log|x*x - y| の非局所的可積分性により固有性が確認された。
• Busemannコサイクルの微分d_E γ は、Γ_{L^r}(E*) 上のL^rノルムに関して固有である。これにより、等長的L^r表現に対しても固有性が立証された。
• SO₀(n,1)、SU(n,1)、またはSp(n,1)の非コンパクトな閉部分群は、ヒルバート空間上の1様有界表現において、適切な1-コサイクルをもつ。