[論文レビュー] Space-efficient binary optimization for variational computing

Adam Glos, Aleksandra Krawiec+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) デバイスを対象として、変動量子アルゴリズムのための空間効率的な2値符号化方式を提案する。特に、巡回セールスマン問題（TSP）を想定している。量子ビットの符号化方法を再定義することで、回路の深さを増す代わりに量子ビット数を削減し、QAOAフレームワーク内での高次2値最適化問題の実装を可能にする。このアプローチにより、量子ビットの節約が顕著に達成されるとともに、量子ビット効率と深さ効率の間で調整可能な補間により、効率性を維持することができる。

ABSTRACT

In the era of Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) computers it is crucial to design quantum algorithms which do not require many qubits or deep circuits. Unfortunately, the most well-known quantum algorithms are too demanding to be run on currently available quantum devices. Moreover, even the state-of-the-art algorithms developed for the NISQ era often suffer from high space complexity requirements for particular problem classes. In this paper, we show that it is possible to greatly reduce the number of qubits needed for the Traveling Salesman Problem (TSP), a paradigmatic optimization task, at the cost of having deeper variational circuits. While the focus is on this particular problem, we claim that the approach can be generalized for other problems where the standard bit-encoding is highly inefficient. Finally, we also propose encoding schemes which smoothly interpolate between the qubit-efficient and the circuit depth-efficient models. All the proposed encodings remain efficient to implement within the Quantum Approximate Optimization Algorithm framework.

研究の動機と目的

• NISQデバイス上での組合せ最適化のための既存量子アルゴリズムの高い空間複雑性に対処すること。
• 変動量子アルゴリズムを用いたTSPの解法において、実行可能性を損なわずに必要な量子ビット数を削減すること。
• 量子ビット効率型と回路深さ効率型のモデルの間を滑らかに補間できる符号化方式の開発。
• 提案されたすべての符号化方式が、QAOAフレームワーク内で効率的かつ実装可能であることを保証すること。
• 異なる符号化方式下での測定要件と収束行動の理論的および実験的分析の提供。

提案手法

• TSPの解を標準的なビット符号化よりも少ない量子ビットで表現する新しい量子ビット符号化戦略を提案。特に高次最適化問題において有効である。
• 目的ハミルトニアン内の調整可能なペナルティパラメータ $ A_1, A_2 $ を用いて、量子ビット効率型と深さ効率型の符号化の間で調整可能な補間を導入。
• 2次化を必要としないアプローチにより、QAOAを高次2値最適化問題（HOBO）に適応。
• 制約をペナルティ項 $ H_{\text{valid}} $ および $ H_{\neq} $ を用いて符号化した修正されたハミルトニアン定式化を採用し、物理的解がエネルギー的に優遇されるように保証。
• スラック変数 $ \xi_{t,i} $ を導入することで、誤り耐性のある有効なTSPルート表現を可能にするハイブリッド符号化を採用。
• Hoeffdingの不等式を用いて、サンプリング誤差と推定誤差を考慮したエネルギー推定に必要な測定回数を推定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変動量子アルゴリズムにおけるTSPの解法に必要な量子ビット数を、回路の深さが著しく増加することなく顕著に削減できるか。
• RQ2 量子ビット数と回路深さのトレードオフが、組合せ最適化におけるQAOAの成功確率と収束に与える影響はいかほどか。
• RQ3 標準的なビット符号化が非効率な問題に限らず、符号化方式を一般化できる範囲はどの程度か。
• RQ4 ペナルティパラメータのスケーリングが、高次目的関数を伴うQAOAにおける最適化の多様性と収束に与える影響は。
• RQ5 異なる符号化戦略下で、ノイズと有限サンプリングの下でエネルギーを信頼性高く推定するために必要な測定回数は。

主な発見

• 提案された符号化により、TSPに必要な量子ビット数が $ O(N^2) $ から $ O(N) $ にまで削減され、量子ビット数の2次的削減が達成された。
• r = 15 の場合、QUBO符号化下で、有効なTSP解を測定する最大成功確率は 0.85 に達し、100インスタンスの平均最良確率は収束性が強く示された。
• エネルギー推定に必要な測定回数は $ \Omega(\operatorname{range}(W)) $ のスケーリングを示すが、通常の仮定下では $ \operatorname{range}(W) \sim N $ となるため、定数誤差に対しては $ \tilde{O}(N) $ のサンプルで十分であると示唆された。
• ハミルトニアンのスペクトルギャップはゼロから離れて保たれ（定数オーダー）、QAOAにおけるアディアバティックに近い収束の可能性を支持する。
• ミックスド符号化アプローチにより、スラック変数 $ \xi_{t,i} $ への誤った割り当てが生じる可能性はあったが、ペナルティ制御により有効性が維持された。
• 数値結果から、$ A_1 = A_2 = 1 $、$ R = \pi $、$ r \leq 15 $ の条件下で、アルゴリズムは有効な解空間と高い重なりを示し、効果的な最適化が達成された。