[論文レビュー] Spaces of quasi-exponentials and representations of the Yangian Y(gl_N)

E. Mukhin, V. Tarasov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、評価表現のテンソル積の重み空間および特異ベクトル空間に作用するYangian $Y(\frak{gl}_N)$ のBethe部分代数の幾何的実現を確立する。これらのモジュールは、離散Wronski写像のファイバー上の関数代数の正則表現として特定され、代数幾何学と対称関数を用いた、可換Bethe代数のスペクトルの解釈がなされる。

ABSTRACT

We consider a tensor product $V(b)= \otimes_{i=1}^n\C^N(b_i)$ of the Yangian $Y(gl_N)$ evaluation vector representations. We consider the action of the commutative Bethe subalgebra $B^q \subset Y(gl_N)$ on a $gl_N$-weight subspace $V(b)_λ\subset V(b)$ of weight $λ$. Here the Bethe algebra depends on the parameters $q=(q_1,...,q_N)$. We identify the $B^q$-module $V(b)_λ$ with the regular representation of the algebra of functions on a fiber of a suitable discrete Wronski map. If $q=(1,...,1)$, we study the action of $B^{q=1}$ on a space $V(b)^{sing}_λ$ of singular vectors of a certain weight. Again, we identify the $B^{q=1}$-module $V(b)^{sing}_λ$ with the regular representation of the algebra of functions on a fiber of another suitable discrete Wronski map. These results we announced earlier in relation with a description of the quantum equivariant cohomology of the cotangent bundle of a partial flag variety and a description of commutative subalgebras of the group algebra of a symmetric group.

研究の動機と目的

• テンソル積の評価表現の $\frak{gl}_N$-重み部分空間に作用する可換Bethe部分代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}} \subset Y(\frak{gl}_N)$ の作用を記述すること。
• 重み部分空間 $V(\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{\lambda}}$ における $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-モジュール構造を、離散Wronski写像のファイバー上の関数代数の正則表現と同一視すること。
• $\boldsymbol{q} = \mathbf{1}$ の場合にこの同一視を拡張し、特異ベクトル $V(\boldsymbol{b})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ における作用が、別の離散Wronski写像のファイバー上の関数代数の正則表現と同型であることを示すこと。
• 対称関数と代数的曲線を用いた幾何的枠組みを提供し、YangianのBethe代数のスペクトルを理解する。これは、量子コホモロジーおよび群代数構造と関連する。

提案手法

• 空間 $\mathcal{V} = (\mathbb{C}^N)^{\otimes n} \otimes \mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]$ を構成し、$S_n$-作用を導入し、その $S_n$-不変部分空間 $\mathcal{V}^S$ を考える。
• $\mathcal{V}^S$ にDrinfeld型の提示を用いて $Y(\frak{gl}_N)$-作用を定義し、Yangian作用を対称テンソル積に持ち上げる。
• $\boldsymbol{q} = (q_1, \dots, q_N)$ でパrameter化されるBethe部分代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}} \subset Y(\frak{gl}_N)$ を導入し、$\frak{gl}_N$-重み分解と可換であることを示す。
• フィルター付き代数同型を介して、$\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-モジュール $V(\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{\lambda}}$ を離散Wronski写像のファイバー上の関数代数の正則表現と同一視する。
• $\boldsymbol{q} = \mathbf{1}$ の場合に、特異ベクトルの部分空間 $V(\boldsymbol{b})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ に制限し、$\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$-作用が再び関数代数の正則表現と同型であることを示す。
• 基本対称関数からの評価写像を用いて、対称多項式 $\sigma_s(\boldsymbol{z})$ および代数 $\mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]^{S_n}$ を用い、関数代数 $\mathcal{O}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ と $\mathcal{O}_{\boldsymbol{\lambda}}$ を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 YangianのBethe部分代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$ が $Y(\frak{gl}_N)$-評価モジュールのテンソル積の重み部分空間に作用するとき、その作用をどのように幾何的に実現できるか？
• RQ2 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-モジュール $V(\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{\lambda}}$ の代数的構造は何か？ また、代数的曲線上の関数代数とどのように関係するか？
• RQ3 $\boldsymbol{q} = \mathbf{1}$ の場合に、特異ベクトル空間 $V(\boldsymbol{b})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ におけるBethe代数 $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$ のスペクトルは、どのように幾何的に分解されるか？
• RQ4 離散Wronski写像のファイバー上の関数代数の正則表現を、重み空間または特異ベクトル部分空間における $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-モジュール構造と自然に同一視できるか？
• RQ5 対称多項式とWronski写像は、$Y(\frak{gl}_N)$ の表現論と代数幾何学および対称関数をどのように結びつけるか？

主な発見

• 同型 $\tilde{\mu}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ を介して、$\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-モジュール $V(\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{\lambda}}$ は、離散Wronski写像のファイバー上の関数代数の正則表現と同型である。
• $\boldsymbol{q} = \mathbf{1}$ の場合、$\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$-モジュール $V(\boldsymbol{b})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ は、関数代数 $\mathcal{O}_{\boldsymbol{\lambda}}$ の正則表現と同型であり、これは第二の離散Wronski写像のファイバー上の関数代数である。
• 同型 $\tilde{\mu}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ は、代数 $\mathbb{C}[\sigma_1, \dots, \sigma_n]$ と $\mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]^{S_n}$ のフィルターを尊重し、$\sigma_s \mapsto \sigma_s(\boldsymbol{z})$ を介して同定する。
• $\tilde{\nu}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ は、関数代数 $\mathcal{O}^{\boldsymbol{q}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ と $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}}$-モジュール $({\frac{1}{D}}\mathcal{V}^A)_{\boldsymbol{\lambda}}$ 間のフィルター付き同型を提供し、モジュールを正則表現として実現する。
• $\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$-モジュール $({\mathcal{V}}^{S})^{\text{sing}}_{\boldsymbol{\lambda}}$ と $({\frac{1}{D}}{\mathcal{V}}^{A})_{\boldsymbol{\lambda}}^{\text{sing}}$ は、$\mathcal{B}^{\boldsymbol{q}=\mathbf{1}}$-モジュールとして同型である。
• 結果は、$\mathfrak{gl}_N[t]$-モジュールに関する先行研究を一般化し、余接バンドルの部分フラッグ多様体の量子等変形コホモロジーおよび対称群代数内の可換部分代数の枠組みを提供する。