[論文レビュー] Spacetime Geometry as Statistic Ensemble of Strings

M. Botta Cantcheff|arXiv (Cornell University)|May 18, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、計量を熱力学的ポテンシャルとして扱うことで、2次元ローレンツ型のストリングに似た多様体の熱力学的集合として時空幾何が出現すると提案する。アインシュタイン方程式が状態方程式として現れ、ポリヤコフ経路積分が回復される幾何的集合を定式化することにより、重力を統計力学およびストリング理論と調和させる背景に依存しない非摂動的枠組みが提供される。

ABSTRACT

Jacobson theorem (Ref. \cite{jacobson}) shows that Einstein gravity may be understood as a thermodynamical equation of state; a microscopic realization of this result is however lacking. In this paper, we propose that this may be achieved by assuming the spacetime geometry as a macroscopic system, whose thermodynamical behavior is described by a statistical ensemble, whose microscopic components are low-dimensional geometries. We show that this picture is consistent with string theory by proposing a particular model for the microscopic geometry, where the spacetime metric plays the role of an ordinary thermodynamical potential in a special ensemble. In this scenario, Einstein equation is indeed recovered as an equation of state, and the black hole thermodynamics is reproduced in a thermodynamic limit (large length scales). The model presented here is background-independent and, in particular, it provides an alternative formulation of string theory.

研究の動機と目的

• ジャコブソンの重力の熱力学的導出をストリング理論における微視的統計的基礎と調和させること。
• 摂動的ストリング理論の背景依存性を、基本的な2次元幾何の統計集合として定式化することにより解決すること。
• 時空計量およびその他の幾何的テンソルが統計力学的枠組みにおいて熱力学的変数として出現することを示すこと。
• アインシュタイン方程式を状態方程式として、熱力学的極限においてブラックホールエントロピーを回復すること。
• ストリング状態および双対性を、背景に依存しない非摂動的定式化における統計現象として再解釈すること。

提案手法

• 微視的自由度は、$d$次元の時空多様体$M$への埋め込みを伴う、方向性を持つ2次元ローレンツ型多様体$W_n$とその内挿計量$q_{ab}$としてモデル化される。
• 時空計量$g_{\mu\nu}$がラグランジュ乗数として作用し、化学ポテンシャルに類似した役割を果たす幾何的集合が定義される。
• グランドカノニカルな分配関数は、世界面のトポロジーの和として構成され、計量$\tilde{q}$、スカラー場$\phi$、埋め込み場$X^\mu$の積分を含む。作用には時空計量への結合項が含まれる。
• 分配関数は$\mathcal{Z} = \sum_{\widetilde{W}} \int \mathcal{D}\tilde{q}\mathcal{D}\phi\mathcal{D}X \, e^{-S[\tilde{q},\phi] + \int \sqrt{\tilde{q}} \, \mu_I(X) \tilde{\mathcal{C}}^I}$の形を取り、$\mu_I$は時空に依存する熱力学的ポテンシャルである。
• 内部作用が$S = \lambda S_G$の形をとるとき、モデルはストリング理論のポリヤコフ経路積分を回復する。
• 局所的制約は、ストリング密度$\mathcal{N}(x) = \int \sqrt{q_{11}} \, d\sigma \, \delta(x^\alpha - X^\alpha(\sigma^a))$などの演算子$C^I(x)$を介して導入され、集合内での保存則が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン方程式は、基本的な2次元幾何の統計集合において状態方程式として導出可能か？
• RQ2 統計力学の原則を用いて、ストリング理論を背景に依存しない非摂動的形で再定式化できるか？
• RQ3 このような統計枠組みにおいて、時空計量の役割は何か—熱力学的ポテンシャルとして扱えるか？
• RQ4 マクロな極限において、ブラックホール熱力学はこの集合記述からどのように出現するか？
• RQ5 ストリング理論における双対性およびコンパクト化は、統計集合および相転移とどのように関係するか？

主な発見

• アインシュタイン方程式は幾何的集合において状態方程式として導出され、ジャコブソンの重力の熱力学的導出と整合的である。
• ストリング理論のポリヤコフ経路積分は、幾何的集合の分配関数として回復され、時空計量$g_{\mu\nu}$が熱力学的ポテンシャルとして現れる。
• ブラックホールエントロピーは熱力学的極限において再現され、ベックステイン＝ホーキングの公式と整合的であることが確認された。
• モデルは背景に依存せず非摂動的であり、固定された時空幾何に依存しない2次元ローレンツ型多様体上で定義された基本理論である。
• ストリング結合定数$\alpha$は、長波長（マクロ）極限を制御する微視的長尺度として解釈され、$\alpha^{1/2} > l_P$は非プランク的基礎スケールを示唆する。
• トポロジーの変化、コンパクト化、重力的崩壊は、熱力学的プロセスとして再解釈され、時空トポロジーのより深い統計的起源を示唆する。