[論文レビュー] Spacetime invariants and their uses

M. A. H. MacCallum|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 14被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における局所時空不変量について包括的な分析を提示し、リーマンテンソルおよびその微分から導かれるスカラー多項式（s.p.）およびカルタン不変量に焦点を当てる。代数的に独立な不変量、特にカルタン不変量が、等価問題の解決、ホライズンおよび特異点の特徴付け、解の構築に向けた強力で座標に依存しない道具であることを確立している。主な結果として、一般の4次元時空における14個の独立不変量の同定と、特異点の発生が発散するカルタン不変量と関連することを示唆する予想が提示されている。

ABSTRACT

There are various types of global and local spacetime invariant in general relativity. Here I focus on the local invariants obtainable from the curvature tensor and its derivatives. The number of such invariants at each order of differentiation that are algebraically independent will be discussed. There is no universally valid choice of a minimal set. The number in a complete set will also be discussed. The invariants can then be used to characterize solutions of the Einstein equations (locally), to test apparently distinct solutions for equivalence, and to construct solutions. Other applications concern limits of families of spacetimes, and the characterization of horizons and singularities. Further uses are briefly mentioned.

研究の動機と目的

• 曲率テンソルおよびその微分を用いた局所時空不変量を分類するための体系的フレームワークの構築。
• 2つの見た目が異なる解が幾何学的に同一であるかどうかを特定することによる一般相対性理論における等価問題の解決。
• 特に曲率不変量が失敗する場合に備えて、不変量に基づく基準を用いてブラックホールホライズンおよび時空特異点を特徴化すること。
• 1パラメータ族の時空の極限を座標に依存しない方法で分析するための手法の提供。
• カルタン不変量が特異点を検出する役割を調査し、特に「わびし」として知られるタイプおよび運動論的タイプの特異点を含め、特異点における発散に関する予想を提示すること。

提案手法

• リーマンテンソル成分およびその共変微分からスカラーを生成するため、Weylテンソルの主な光線方向などの標準的に入れたフレームを用いたカルタンの不変量構成法を用いる。
• 有限基底のヒルベルト理論を適用し、スカラー多項式（s.p.）不変量の完全集合のサイズを決定する。n次元時空における代数的に独立な不変量の数を示す公式を提示する。
• カルミナティとリムのグラフ理論的手法を用いて、s.p.不変量間の関係（多項式的関係）を同定し、不変量の正規表現を可能にする。
• ニューマン＝ペンローズのスピンルーチン形式を用い、リッチおよびビアンキ恒等式を完全に組み込んだ、代数的に独立なカルタン不変量の最小集合を構築する。
• 測地線に沿ったり境界付近で不変量（特にs.p.およびカルタン不変量）の振る舞いを分析し、ホライズンおよび特異点を検出する。
• 特異点が発生する際、少なくとも1つのカルタン不変量が最初の微分集合（$ ilde{rak{R}}^1 $）で発散することを示唆する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の4次元時空では、代数的に独立なスカラー多項式不変量はいくつ存在するか。また、特殊な場合ではその数はどのように減少するか。
• RQ2 カルタン不変量は、一般相対性理論における等価問題を解くためにs.p.不変量よりもより効率的かつ強固な代替手段を提供できるか。
• RQ3 曲率不変量は、標準的なs.p.不変量が失敗する場合（例：シュヴァルツシルトのホライズン）を含め、ホライズンおよび特異点をどの程度検出できるか。
• RQ4 不変量に基づく手法を用いて、1パラメータ族の時空の極限を座標に依存しない方法で体系的に決定できるか。
• RQ5 カルタン不変量の発散と時空特異点（「わびし」型および運動論的タイプを含む）の発生との関係は何か。

主な発見

• 一般の4次元時空では、リーマンテンソルおよびその1階微分から構成される代数的に独立なスカラー多項式不変量が正確に14個存在する。
• カルタン不変量はs.p.不変量よりも計算コストが低く、pp波や平坦空間のような場合に特に有効である。これらの場合はs.p.不変量が0であるが、カルタン不変量は非ゼロである。
• 不変量 $ R_{abcd;e}R^{abcd;e} $ はシュヴァルツシルトのホライズンで0になるが、これはホライズン検出の十分条件ではない。高次元静的時空における反例によって示されている。
• 本稿は、シュヴァルツシルトのホライズンが曲率特異点ではないことを示しており、$ 1/R_{abcd;e}R^{abcd;e} $ の発散にもかかわらず、発散する不変量が曲率特異点を意味するとは限らない。
• カルタン不変量の比に基づく新しい不変量テストが、ペトロフ型Dのホライズンを的確に特徴づけることができ、すべての時空に一般化可能であると予想されている。
• 本研究は、運動論的特異点が高階微分のカルタン不変量の発散によって検出可能であるという証拠を提供しており、すべての時空特異点が $ ilde{rak{R}}^1 $ 内の少なくとも1つのカルタン不変量の発散によって示唆されることを支持する。