[論文レビュー] Spanning Trees in Graphs of High Minimum Degree with a Universal Vertex I: An Approximate Asymptotic Result

Bruce Reed, Maya Stein|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、十分に大きな m に対して、m+1 個の頂点、ユニバーサル頂点、最小次数が ⌊2m/3⌋ 以上の任意のグラフが、m 条の辺を持つすべての木を部分グラフとして含むことを証明している。この結果は、Havet, Reed, Stein, and Wood による予想の近似的な漸近的バージョンを確立し、極値的グラフ理論における重要な特殊ケースを確認している。

ABSTRACT

In this paper and a companion paper, we prove that, if $m$ is sufficiently large, every graph on $m+1$ vertices that has a universal vertex and minimum degree at least $\lfloor \frac{2m}{3} floor$ contains each tree $T$ with $m$ edges as a subgraph. The present paper already contains an approximate asymptotic version of the result. Our result confirms, for large $m$, an important special case of a recent conjecture by Havet, Reed, Stein, and Wood.

研究の動機と目的

• 最小次数が高く、ユニバーサル頂点を含むグラフにおけるスパニングツリーの存在を調査すること。
• Havet, Reed, Stein, and Wood が提起した、m 条の辺を持つすべての木がこのようなグラフに含まれることに関する予想に対処すること。
• 大きな m に対して、予想の近似的な漸近的結果を確立し、予想の重要な特殊ケースを確認すること。
• 与えられたサイズのすべての木が部分グラフとなる条件を同定することで、極値的グラフ理論に貢献すること。

提案手法

• m+1 個の頂点、ユニバーサル頂点、最小次数が少なくとも ⌊2m/3⌋ であるグラフを分析する。
• すべての m 条の辺を持つ木が部分グラフとして含まれることを調べるための漸近的手法を適用する。
• 構造的グラフ理論の技術を用いて、スパニングツリーが存在する条件を制限する。
• m が非常に大きくなる際の漸近的挙動に注目し、わずかな誤差項を含む結果を確立する。
• ユニバーサル頂点の存在を活用して、任意の木の埋め込みを単純化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に大きな m に対して、m+1 個の頂点、ユニバーサル頂点、最小次数が少なくとも ⌊2m/3⌋ であるグラフは、すべての m 条の辺を持つ木を部分グラフとして含むか？
• RQ2 ユニバーサル頂点の存在が、すべての m 条の辺を持つ木の埋め込みをどの程度容易にするか？
• RQ3 Havet, Reed, Stein, and Wood が提起した予想の近似的な漸近的バージョンを証明できるか？
• RQ4 どのような構造的制約が、高最小次数のグラフにおいてすべてのサイズ m の木が部分グラフとなることを保証するか？

主な発見

• 十分に大きな m に対して、m+1 個の頂点、ユニバーサル頂点、最小次数が少なくとも ⌊2m/3⌋ である任意のグラフは、すべての m 条の辺を持つ木を部分グラフとして含む。
• この結果は、Havet, Reed, Stein, and Wood が提起した最近の予想の重要な特殊ケースを、大きな m に対して確認している。
• 予想の近似的な漸近的バージョンが確立され、与えられた条件下でこのような木の存在が示された。
• ユニバーサル頂点の存在は、スパニングツリーが保証される条件を著しく強化する。