[論文レビュー] Sparse Linear-Quadratic Feedback Design Using Affine Approximation

MirSaleh Bahavarnia|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2015

Advanced Adaptive Filtering Techniques参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形・二次型フィードバック制御設計のスパース性を促進するための反復的アルゴリズムを提案する。非凸的でNP困難な$α$-正則化LQ問題をアフィン近似およびシュール補行列技術を用いて凸化することで、非凸的でNP困難なスパース性促進LQR問題を、凸な半定値計画問題（SDP）の系列に変換する。この手法により、既存の手法と比較して優れたスパース性パターンと競争力のある性能を達成する。

ABSTRACT

We consider a class of $\ell_0$-regularized linear-quadratic (LQ) optimal control problems. This class of problems is obtained by augmenting a penalizing sparsity measure to the cost objective of the standard linear-quadratic regulator (LQR) problem in order to promote sparsity pattern of the state feedback controller. This class of problems is generally NP hard and computationally intractable. First, we apply a $\ell_1$-relaxation and consider the $\ell_1$-regularized LQ version of this class of problems, which is still nonconvex. Then, we convexify the resulting $\ell_1$-regularized LQ problem by applying affine approximation techniques. An iterative algorithm is proposed to solve the $\ell_1$-regularized LQ problem using a series of convexified $\ell_1$-regularized LQ problems. By means of several numerical experiments, we show that our proposed algorithm is comparable to the existing algorithms in the literature, and in some cases it even returns solutions with superior performance and sparsity pattern.

研究の動機と目的

• スパース性促進$∥K∥_{\ell_0}$項を含む$α$-正則化LQ最適制御問題の計算上の非効率性に対処すること。
• リャプノフ方程式における非線形項のアフィン近似を用いて、非凸的$α$-正則化LQ問題を凸化すること。
• スパースなフィードバックゲインを近似するために、凸化された部分問題の系列を反復的に解く反復的アルゴリズムを開発すること。
• 既存のアルゴリズム（例：[2]に示すもの）と比較して、より優れたスパース性パターンと性能を達成すること。

提案手法

• 元の$ℓ_0$-正則化LQ問題における非凸的スパース項を$ℓ_1$-緩和により凸な$ℓ_1$-ノルムに変換する。
• リャプノフ方程式における非線形項をアフィン近似により線形化し、$ℓ_1$-正則化問題の凸化を可能にする。
• シュール補行列を用いて、得られた非凸制約をSDPソルバー（例：CVX）に適した線形行列不等式（LMI）形式に再定式化する。
• $K$と$X$を含む二重線形項を分解・凸化するために、補助変数$F$、$P$、$Y$を導入する。
• 各ステップで近似を更新しながら、凸SDPの系列を反復的に解き、スパースなフィードバックゲイン$K$に収束させる。
• CVX互換形式における数値的安定性を確保するため、$X \succeq \epsilon_1 I$を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン近似は、非線形リャプノフ制約を有する非凸的$ℓ_1$-正則化LQ問題を効果的に凸化できるか？
• RQ2 反復的凸化アプローチは、既存の手法と比較して、より優れたスパース性と性能を示すフィードバック制御系を生成できるか？
• RQ3 空間的に減衰する系において、スパース性がシステム構造と整合するか？
• RQ4 最先端のアルゴリズムと比較して、計算コストと解の品質のトレードオフはいかほどか？

主な発見

• 提案手法は、スパース性促進LQR問題の真の最適解に対する上界としての二次コストを達成する。
• 数値実験の結果、特定の状況下で[2]に示されたアルゴリズムと比較して、優れたスパース性パターンと性能を示す解が得られる。
• 既存のアルゴリズムと同等の性能を達成するが、アルゴリズム的構造がより単純である。
• 空間的に減衰する系では、得られるフィードバックゲイン行列が、システムの動的挙動と整合するスパース性パターンを示す。
• [2]と比較して遅いが、より構造的かつ解釈可能な解法プロセスが得られる。
• アフィン近似とシュール補行列の使用により、標準的なツール（例：CVX）で解ける凸SDPの系列に変換可能である。