[論文レビュー] SPDEs with fractional noise in space with index H < 1=2

Raluca M. Balan, Maria Jolis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間に白色で空間に分数 Browm運動（Hurst 指数 H ∈ (1/4, 1/2)）である空間時間ガウスノイズによって駆動される、R 上の確率的波動方程式および熱方程式に対して、弱解の存在および一意性を確立する。ピカード反復およびマルリャン・カculusの技法を用いて、p ≥ 2 に対して p 階モーメントの L² 継続性および一様有界性を証明し、アフィン拡散係数を有する双曲的および放物的アンダーソン・モデルへと結果を拡張する。

ABSTRACT

In this article, we consider the stochastic wave and heat equations on $\mathbb{R}$ with non-vanishing initial conditions, driven by a Gaussian noise which is white in time and behaves in space like a fractional Brownian motion of index $H$, with $1/4<H<1/2$. We assume that the diffusion coefficient is given by an affine function $\sigma(x)=ax+b$, and the initial value functions are bounded and H\"older continuous of order $H$. We prove the existence and uniqueness of the mild solution for both equations. We show that the solution is $L^{2}(\Omega)$-continuous and its $p$-th moments are uniformly bounded, for any $p \geq 2$.

研究の動機と目的

• 空間に分数ノイズ（Hurst 指数 H < 1/2）を有する確率的波動方程式および熱方程式に対して、弱解の存在および一意性を確立すること。
• 解が L²(Ω)-連続であり、すべての p ≥ 2 に対して一様に有界な p 階モーメントを持つことを証明すること。
• アフィン拡散係数 σ(x) = ax + b を有する双曲的および放物的アンダーソン・モデル（HAM および PAM）への解析を拡張すること。
• 長距離依存性を有するノイズに対する確率積分の技術的課題を、慎重に構築された関数空間におけるピカード反復を用いて克服すること。
• 特異な共分散構造を有する空間的ホモジニアスなガウスノイズによって駆動されるSPDEのための厳密なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 著者らは、適切な関数空間内での逐次近似の極限として解を構成するため、ピカード反復法を用いる。
• 反復列の定義および収束を保証するために、反復列の p 階モーメントに対する一様有界性を証明する。
• 証明は、H ∈ (1/4, 1/2) の分数ノイズの共分散構造に依存する、マルリャン・カculusの技法および推定に依存する。
• 主な推定は、スペクトル測度 µ およびノイズ共分散のフーリエ変換に着目し、特に ∫(1 + |ξ|²)⁻¹µ(dξ) < ∞ の仮定の下で導出される。
• ノイズをマルティンゲール測度として表現し、この測度に関する伊藤型確率積分を適用する。
• 解が基本解 Gt(x) およびノイズとの確率的畳み込みを含む弱形式を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間に分数ノイズ（H < 1/2）を有する確率的波動方程式は、アフィン拡散係数およびホルダー連続な初期データのもとで、一意な弱解を有するか？
• RQ2 H ∈ (1/4, 1/2) の場合に、解の p 階モーメントがすべての p ≥ 2 に対して一様に有界であるか？
• RQ3 ノイズ共分散が局所的に可積分でない場合に、解の正則性およびモーメント挙動は Hurst 指数 H < 1/2 にどのように依存するか？
• RQ4 古典的ピカード反復法は、H < 1/2 である非マルコフ的・長距離依存性ガウスノイズによって駆動されるSPDEに適応可能か？
• RQ5 同じノイズおよび初期条件のもとで、結果は双曲的および放物的アンダーソン・モデルにどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• H ∈ (1/4, 1/2) である空間時間ガウスノイズによって駆動される確率的波動方程式および熱方程式は、一意な弱解を有し、L²(Ω)-連続である。
• すべての p ≥ 2 に対して、解の p 階モーメントは一様に有界であり、その有界性は初期データおよびノイズパラメータにのみ依存する。
• 解は、空間的増分とノイズの自己相似性指数 H を含む、重要な積分不等式を満たす。
• 証明により、ピカード反復列が L²(Ω) ノルムにおいて適切に定義され収束することが保証され、解の存在が裏付けられる。
• 著者らは、放物的アンダーソン・モデル（PAM）の解が、σ(x) = x + b および初期データがゼロである確率的熱方程式（SHE）の解 u に対して u + b と表せることを示す。
• 多重確率積分の使用を回避し、代わりにピカード反復に依存するため、長距離依存性のためマルティンゲール技法が失敗する場合にも適用可能である。