[論文レビュー] Special 2-flags in lengths not exceeding four: a study in strong nilpotency of distributions

Fernand Pelletier|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、強力な可解性と特殊な多フラッグに関する既知の結果を用いて、C∞およびC1の両カテゴリーにおいて、長さ4以下の特別な2フラッグを分類する。長さ4では34個の異なる局所軌道が同定され、2003年に同定された14個の特異性クラスよりも顕著に多い。これは、すべてのこのような局所的胚が弱可解的である一方で、強可解的であるのはまれであることを示している。

ABSTRACT

In the recent years, a number of issues concerning distributions generating 1flags (called also Goursat flags) has been analyzed. Presently similar questions are discussed as regards distributions generating multi-flags. (In fact, only so-called special multi-flags, to avoid functional moduli.) In particular and foremost, special 2-flags of small lengths are a natural ground for the search of generalizations of theorems established earlier for Goursat objects. In the present paper we locally classify, in both C ! and C 1 categories, special 2-flags of lengths not exceeding four. We use for that the known facts about special multi-flags along with fairly recent notions like strong nilpotency of distributions. In length four there are already 34 orbits, the number to be confronted with only 14 singularity classes – basic invariant sets discovered in 2003. As a common denominator for different parts of the paper, there could serve the fact that only rarely multi-flags’ germs are strongly nilpotent, whereas all of them are weakly nilpotent, or nilpotentizable (possessing a local nilpotent basis of sections).

研究の動機と目的

• Goursatフラッグの分類を、特に長さ4までの小さな長さの特別な2フラッグに拡張すること。
• 多フラッグの局所的分類における分布の強可解性の役割を調査すること。
• 特別な2フラッグの文脈において、局所的軌道の数と特異性クラス（基本的不変集合）の数を比較すること。
• 多フラッグ胚の文脈において、強可解性と弱可解性（可解化可能）の違いを明確にすること。
• 特別な2フラッグの長さ≤4について、C∞およびC1の両カテゴリーにおける局所的分類を提供すること。

提案手法

• 特別な多フラッグに関する既存の結果を用いて、2フラッグ分布の構造を分析する。
• 局所的軌道を分類するための主要な不変量として、分布の強可解性の概念を適用する。
• 微分幾何的技法を用いて、C∞およびC1カテゴリーにおける分布の胚を分析する。
• 2003年の特異性クラスの分類を、軌道数の比較の基準点として用いる。
• ベクトル場の局所的可解基底（可解化可能胚）の存在と性質を分析する。
• すべての多フラッグ胚が弱可解的または可解化可能であるが、強可解的であるのはまれであるという事実を、分類の指針として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C∞およびC1カテゴリーにおいて、長さ4以下の特別な2フラッグに対して、いくつの局所的軌道が存在するか？
• RQ2 特別な2フラッグ胚はどの程度強可解的であり、弱可解性と比べてどう異なるか？
• RQ3 2003年に同定された14個の特異性クラスと比較して、長さ4における局所的軌道の数（34）はどうなるか？
• RQ4 強可解的2フラッグ胚と、弱可解的であるにとどまる胚を区別する構造的性質は何か？
• RQ5 強可解性をフレームワークとして用いることで、特別な2フラッグの分類を体系的に拡張できるか？

主な発見

• 長さ4において、C∞およびC1の両カテゴリーにおいて、特別な2フラッグに対して正確に34個の異なる局所的軌道が存在する。
• 長さ4における局所的軌道の数（34）は、特異性クラスの数（14）を上回っており、より細かい分類構造であることを示している。
• すべての特別な2フラッグ胚は弱可解的または可解化可能であり、つまり局所的可解基底のセクションを有する。
• 多フラッグ胚において強可解性はまれな性質であり、長さ4の34個の軌道のうちわずかにしかこの条件を満たさない。
• 分類の結果から、強可解性は多フラッグ胚の一般的な特徴ではなく、弱可解性が普遍的であるのに対し、強可解性は限定的であることが明らかになった。
• 結果から、強可解性は2フラッグの局所的同値類を区別する強力ではあるが、制限的な不変量であると考えられる。