[論文レビュー] Special Bohr - Sommerfeld geometry

Nikolai Andreevich Tyurin|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ボルン＝ソルマーフェルト条件と、正則切断に関連する新しい特別性条件を満たす特殊なボルン＝ソルマーフェルト（SBS）ラグランジュ部分多様体—すなわち、ラグランジュサイクル—を導入し、そのモジュライ空間が有限次元であることを示す。1次形式 (1,1) を持つ二次的3次超曲面に対して、モジュライ空間は ℂℙ³∖Q′ に同型であり、自然なコンactificationとして ℂℙ³ へ拡張可能であり、量子化と整合性を持つ構造を通じて、ミラー対称性の新しい幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We present a new approach to special lagrangian geometry which works for Bohr - Sommerfeld lagrangian submanifolds of symplectic manifolds with integer symplectic forms. This leads to construction of finite dimensional moduli spaces of SBS lagrangian cycles over algebraic varieties.

研究の動機と目的

• ミラー対称性におけるラグランジュ部分多様体のモジュライ空間の無限性を解消するために、新たな有限性条件を導入すること。
• プレ量子化されたラグランジュ部分多様体に対して新しい特別性条件を導入することで、ボルン＝ソルマーフェルト幾何と特別ラグランジュ幾何を統合すること。
• 幾何的量子化とミラー双対性と整合性を持つ、有限次元のラグランジュ部分多様体のモジュライ空間を構成すること。
• 量子線形束と接続が自然に定義可能な幾何的設定を提供し、さらなる量子化を可能にするように、モジュライ空間上で量子線形束と接続を自然に定義すること。

提案手法

• 固定された切断の制限が、共変的に定数な切断に対して一定の位相を持つラグランジュ部分多様体としてSBSラグランジュ部分多様体を定義する。
• プレ量子化データを用いる：曲率が 2πiω であるヘルミート線束 L を用いて、共変的に定数な切断を通じてボルン＝ソルマーフェルト条件を定義する。
• ℬ_S が固定された位相型を持つボルン＝ソルマーフェルトラグランジュ部分多様体のモジュライ空間であるとき、ℙ(Γ(M,L)) × ℬ_S におけるインシデントサイクルを構成する。
• p₁*𝒪(1) ⊗ p₂*L として与えられるテンソル積線束 E をモジュライ空間に導入し、曲率形式と U(1)-不変な水平上昇を用いて、A としてのヘルミート接続を備える。
• 適切な複素構造とリーマン計量を用いて、ℬ_S 上の線束 ℒ に標準的な水平分布を定義し、well-defined な接続 A_I を得る。
• E 上の全接続 𝔸 の曲率を調査し、それがケーラー形式に比例するかどうかを検証する。これは幾何的量子化のための重要な条件である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ部分多様体に新たな有限性条件を課すことで、シンプレクティック幾何におけるそのモジュライ空間の安定化が可能か？
• RQ2 ボルン＝ソルマーフェルト条件と、切断に基づく特別性条件との相互作用が、ラグランジュサイクルの幾何にどのように制約を加えるか？
• RQ3 二次的3次超曲面などの特定の代数的多様体に対して、特別ボルン＝ソルマーフェルトラグランジュ部分多様体のモジュライ空間の構造はいかなるものか？
• RQ4 SBSラグランジュ部分多様体のモジュライ空間は自然にコンパクト化可能か？ その幾何的構造はどのようなものか？
• RQ5 モジュライ空間上に誘導された接続の曲率が、ケーラー形式に比例するか？ これにより、完全な幾何的量子化フレームワークが構築可能か？

主な発見

• 二次的3次超曲面 Q と O(1,1) に対して、S ≅ S² を (1,-1) の類とするとき、モジュライ空間 ℳ_SBS は ℂℙ³∖Q′ に同型であり、Q′ は射影双対な二次曲面である。
• モジュライ空間 ℳ_SBS は自然なコンパクト化をもち、それは ℂℙ³ に同型であり、完全な幾何的構造を示している。
• インシデントサイクル 𝒰_SBS は ℙ(Γ(M,L)) × ℬ_S に埋め込まれており、s が切断で S がSBSラグランジュ部分多様体であるようなペア (s, S) をパラメトライズする。
• 直接像として、インシデントサイクルに沿ったプレ量子化バンドルの写像を通じて、ℬ_S 上に自然な線束 ℒ が構成され、U(1)-不変な接続 A_I が備わる。
• ℳ_SBS 上のテンソル積バンドル E 上の全接続 𝔸 は、𝒪(1) と A_I の曲率を組み合わせており、その曲率がケーラー形式に比例するか否かは現在調査中である。
• この枠組みは、接続 𝔸 の曲率がケーラー形式に比例する限り、モジュライ空間上での幾何的量子化への道筋を示唆している。この条件は現在活発に調査中である。