[論文レビュー] Special cycles and derivatives of Eisenstein series

Stephen S. Kudla|ArXiv.org|Aug 29, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、直交シムール多様体上の代数的サイクル、イーゼンスタイン級数の微分、ランキン＝セルバーグL関数の特別値を結びつける推測的枠組みを提案する。theta被覆を通じてRallisの内積公式の幾何的実現が行われ、シーゲルモジュラー形式から得られるコホモロジー類のカップ積が、イーゼンスタイン級数の引き戻しとして現れることを示し、コホモロジー対応とL関数値、および特別なサイクルの体積を結ぶ重要な恒等式が得られる。

ABSTRACT

This article sketches relations among algebraic cycles for the Shimura varieties defined by arithmetic quotients of symmetric domains for O(n,2), theta functions, values and derivatives of Eisenstein series and values and derivatives of certain L-functions. In the geometric case, results of joint work with John Millson imply that the generating functions for the classes in cohomology of certain algebraic cycles of codimension r are Siegel modular forms of genus r and weight n/2+1. A result of Borcherds shows that, for r=1, the same is true for the generating function for the classes of such divisors in the Chow group. By the Siegel-Weil formula, the generating function for the volumes of codimension r cycles coincides with a value of a Siegel-Eisenstein series of genus r. In particular, this gives an interpretation of the Fourier coefficients of these Eisenstein series as volumes of algebraic cycles. The second part of the paper discusses the possible analogues of these results in the arithmetic case, where the special values of derivatives of Eisenstein series arise. In this case, the Fourier coefficients of such derivatives are should be the heights (arithmetic volumes) of certain cycles on integral models of the O(n,2) type Shimura varieties. Relations of this sort would yield relations between central derivatives of certain L-functions and height pairings. The case of curves on a Siegel 3-fold and of the central derivative of a triple product L-function are discussed.

研究の動機と目的

• 代数的サイクル、イーゼンスタイン級数の微分、ランキン＝セルバーグL関数の特別値を結ぶ広範な推測的枠組みを構築すること。
• Rallisの内積公式をシムール多様体上のコホモロジー類の観点から幾何的解釈すること。
• シーゲルモジュラー形式に関連するコホモロジー類のカップ積が、イーゼンスタイン級数の引き戻しとして表現可能であることを示すこと。
• theta被覆と自動形式を用いて、高ランク古典的群への算術的内積公式の一般化を達成すること。
• 特別なサイクルとL関数のコホモロジー的実現を通じて、算術的幾何と自動形式の橋渡しをすること。

提案手法

• 有理数体 Q 上の正定値ノルムを持つベクトル x ∈ V(Q) を用いて、MK の部分シムール多様体 Z(x) ⊂ MK を特別なサイクルとして構成する。
• ウェイレーモデルとtheta対応を用いて、H^{2r}(MK) に属するコホモロジー類にシーゲルモジュラー形式を関連付ける。
• 古典的theta被覆を用いて、尖点形式 f ∈ S(r)_{n/2+1} からコホモロジー類 [θr(f,ϕ)] ∈ H^{2r}(MK) への写像を定義する。
• G’_Q の作用とメタプレクティック被覆を用いた変換則を導出し、ベクトル値theta関数の古典的モジュラー変換性を導出する。
• イーゼンスタイン級数 E_{2n}(τ, s, ϕ₁⊗ϕ̄₂) を含む二重積分を用いて、2つのコホモロジー類のカップ積を計算する。
• カップ積が H^{r₁} × H^{r₂} へのイーゼンスタイン級数の引き戻しとして表される推測的恒等式 (A.II.19) を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交シムール多様体上の代数的サイクルは、イーゼンスタイン級数の微分とどのように関係しているか？
• RQ2 コホモロジー類の観点から、Rallisの内積公式の幾何的意味は何か？
• RQ3 シーゲルモジュラー形式から生じるコホモロジー類のカップ積は、イーゼンスタイン級数の引き戻しとして表現可能か？
• RQ4 ランキン＝セルバーグL関数の特別値と特別なサイクルの体積の正確な関係は何か？
• RQ5 theta被覆と古典的群上の自動形式は、推測的算術的内積公式をどのように実現するか？

主な発見

• コホモロジー類 [θr(f₁,ϕ₁)] と [θr(f₂,ϕ₂)] のカップ積は、定数Bを除いて、f₁⊗f̄₂ とイーゼンスタイン級数 E_{2n}(τ, 1/2, ϕ₁⊗ϕ̄₂) のペトリソン内積に一致する。
• f₁ と f₂ が同じ尖点自動形式表現 π に対応するとき、対応は L(1, π) と f のペトリソンノルムの積に一致する。式 (A.II.17) に示す。
• 恒等式 (A.II.19) は、カップ積がイーゼンスタイン級数 En(τ, 1/2, ϕ₁⊗ϕ̄₂) を H^{r₁} × H^{r₂} に引き戻したものとして表されることを示し、コホモロジーとイーゼンスタイン級数を結ぶ。
• 非退化な V に対して、標準的n形式 Ω^n に関する MK の体積は、式 (A.II.18) に示すように、vol(MK, Ω^n) · En(τ, 1/2, ϕ) = ∑_{T≥0} vol(Z(T,ϕ)) q^T を満たす。
• 式 (A.II.14) の二重積分は、既知の結果 [51] を用いて標準的L関数に還元され、L(1, π) が主要因として現れる。
• 推測的恒等式 (6.10) は (A.II.19) に一般化され、コホモロジー類のカップ積がイーゼンスタイン級数の引き戻しとして実現されることを示している。