[論文レビュー] Special geometry and symplectic transformations

B. de Wit, Antoine Van Proeyen|CERN Bulletin|Oct 25, 1995

Algebraic and Geometric Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、N=2超対称性および剛体超対称性における特殊ケーラー多様体の幾何的構造を、(2n+2)次元の複素空間におけるシンプレクティック変換を通して調査する。シンプレクティック変換がスカラー多様体上で等長変換または座標の再パrametrizationとして作用することを確立し、標準的なプレポテンシャル形式が、2次同次な正則関数から自然に導かれる仕組みを示し、シンプレクティック双対性を通じて特殊幾何学の統一的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Special Kahler manifolds are defined by coupling of vector multiplets to $N=2$ supergravity. The coupling in rigid supersymmetry exhibits similar features. These models contain $n$ vectors in rigid supersymmetry and $n+1$ in supergravity, and $n$ complex scalars. Apart from exceptional cases they are defined by a holomorphic function of the scalars. For supergravity this function is homogeneous of second degree in an $(n+1)$-dimensional projective space. Another formulation exists which does not start from this function, but from a symplectic $(2n)$- or $(2n+2)$-dimensional complex space. Symplectic transformations lead either to isometries on the manifold or to symplectic reparametrizations. Finally we touch on the connection with special quaternionic and very special real manifolds, and the classification of homogeneous special manifolds.

研究の動機と目的

• N=2超重力および剛体超対称性における特殊ケーラー多様体の幾何的・代数的構造を明確化すること。
• 従来の同次関数に依存するのではなく、(2n+2)次元の複素空間におけるシンプレクティック変換を用いたプレポテンシャルアプローチの再定式化。
• シンプレクティック変換がスカラー多様体上で等長変換または座標の再パラメータ化を生成する役割を分析すること。
• 特殊ケーラー多様体と特殊クaternion的多様体および非常に特殊実多様体の関連構造を結びつけること。
• シンプレクティック双対性を用いた、同次的特殊多様体の体系的分類枠組みを提供すること。

提案手法

• 従来のプレポテンシャルアプローチに代えて、複素空間における次元2n+2のシンプレクティックベクトル空間を用いて特殊ケーラー幾何学を形式化する。
• スカラー多様体上で作用する基本的対称性としてのシンプレクティック変換を導入し、それが等長変換または座標の再パラメータ化として機能することを示す。
• プレポテンシャルがn+1次元の射影空間において2次同次であるという条件を導出する。
• シンプレクティック構造を用いて、剛体理論および超重力理論におけるベクトル multiplet の記述を統一する。
• シンプレクティック群がスカラー多様体上で作用する様子を分析することで、同次的特殊多様体の分類に応用する。
• 双対性および幾何的還元を用いて、特殊クaternion的多様体および非常に特殊実多様体との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック変換は特殊ケーラー幾何学におけるスカラー多様体上でどのように作用するのか。その物理的・幾何的意義は何か。
• RQ2 N=2超重力において、正則プレポテンシャルとシンプレクティック構造の正確な関係は何か。
• RQ3 標準的特殊幾何学の形式化は、プレポテンシャルに依存せず、(2n+2)次元の複素空間におけるシンプレクティック構造を用いて同等に記述可能か。
• RQ4 シンプレクティック双対性変換は、特殊ケーラー幾何学におけるスカラー多様体の等長変換とどのように関係するか。
• RQ5 プレポテンシャルの2次同次性が、一貫性のある特殊ケーラー多様体を定義するために果たす役割は何か。

主な発見

• (2n+2)次元の複素空間におけるシンプレクティック変換は、スカラー多様体上で等長変換または座標の再パラメータ化として作用する。
• 標準的なプレポテンシャル形式は、n+1次元の射影空間において2次同次な正則関数から自然に導かれる。
• シンプレクティック形式化はプレポテンシャルに依存しない、同等かつより根本的な特殊幾何学の記述を提供する。
• 本稿は、幾何学的および双対性構造を通じて、特殊ケーラー多様体と特殊クaternion的多様体・非常に特殊実多様体との直接的な関連を確立した。
• 本フレームワークにより、スカラー多様体上でシンプレクティック群が作用する様子を分析することで、同次的特殊多様体の体系的分類が可能になった。
• 結果は、Nucl. Phys. Proc. Suppl. 45BC (1996) 196–206 に発表された論文と整合しており、シンプレクティックアプローチの妥当性が裏付けられた。