[論文レビュー] Special Hermitian metrics and Lie groups

Nicola Enrietti, Anna Fino|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2n次元のSKT Lie代数にヘルミート平坦接続を用いて、4n次元の強いKählerと torsion (SKT) Lie代数を構成し、次元8におけるSKT例を体系的に生成する方法を提供する。4次元Lie代数における複素構造をtameするシンプレクティック形式を分類し、これらのSKT構造内にKähler計量が存在する条件を同定する。

ABSTRACT

A Hermitian metric on a complex manifold is called strong Kähler with torsion (SKT) if its fundamental 2-form $ω$ is $\partial \bar \partial$-closed. We review some properties of strong KT metrics also in relation with symplectic forms taming complex structures. Starting from a $2n$-dimensional SKT Lie algebra $\mathfrak g$ {and using} a Hermitian flat connection on $\mathfrak g$ we construct a $4n$-dimensional SKT Lie algebra. We apply this method to some 4-dimensional SKT Lie algebras. Moreover, we classify symplectic forms taming complex structures on 4-dimensional Lie algebras.

研究の動機と目的

• 低次元のSKT Lie代数から高次元のSKT Lie代数を生成する一般化された構成法を開発すること。
• 4次元Lie代数における複素構造をtameするシンプレクティック形式を分類すること。
• 4次元Lie代数におけるSKT計量が同じ複素構造内でKähler計量を許容する条件を同定すること。
• ビスマールト接続と閉じた3形式を介して、SKT幾何と一般化Kähler構造の関係を調査すること。
• 既知の4次元SKT Lie代数を用いて、次元8におけるSKTおよび一般化Kähler構造の明示的例を提供すること。

提案手法

• 2n次元のSKT Lie代数にヘルミート平坦接続を適用し、4n次元のSKT Lie代数構造を誘導する。
• 特定の4次元SKT Lie代数 $\mathfrak{r}_{4,\lambda,0}$, $\mathfrak{d}_{4,2}$, $\mathfrak{d}_{4,\frac{1}{2}}$, $\mathfrak{d}'_{4,\lambda}$, および $\mathfrak{aff}_{\mathbb{R}}\times\mathfrak{aff}_{\mathbb{R}}$ にこの構成を適用する。
• SKT計量を定義するために $\partial\overline{\partial}\omega = 0$ の条件を用い、基本的2形式 $\omega$ が $\partial\overline{\partial}$-閉であることを保証する。
• 特定の (1,1)-形式 $\omega_k$ が閉じており正定値であるかどうかを確認することで、Kähler計量の存在を分析する。
• $\partial\omega = \overline{\partial}\beta$ と複素構造 $J$ をtameするシンプレクティック形式の存在が同値であることを利用する。
• 計算により $b_3^{\text{inv}} = \dim H^3(\mathfrak{g}) = 0$ を得ることで、考察対象のLie代数においてすべての $d$-閉じた3形式が完全であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2n次元のSKT Lie代数を用いて、ヘルミート平坦接続により4n次元のSKT Lie代数を構成できるか？
• RQ2 どの4次元Lie代数がその複素構造をtameするシンプレクティック形式を持つのか？
• RQ3 4次元Lie代数におけるSKT計量が、同じ複素構造内でKähler計量を許容する条件は何か？
• RQ4 構成された例において、ビスマールト接続とねじれ3形式 $c$ は、SKT条件 $dc = 0$ とどのように関係しているか？
• RQ5 既知の4次元SKT Lie代数を用いて、[15]における一般化Kähler構造がこの構成法によって回復可能か？

主な発見

• この構成により、既知の4次元SKT Lie代数 $\mathfrak{d}_{4,\frac{1}{2}}$ および $\mathfrak{d}'_{4,\lambda}$ から新しい8次元SKT Lie代数が得られる。
• $\mathfrak{aff}_{\mathbb{R}}\times\mathfrak{aff}_{\mathbb{R}}$ において、SKT計量 $\omega = e^{12} + e^{34} + t(e^{13} + e^{24})$ は $\partial\omega = \overline{\partial}(a\alpha^{12})$ を満たし、$a = -\frac{t}{2} + i\frac{u_3 - y_2}{2(x_3 + v_2)}$ である。
• $\mathfrak{r}_{4,\lambda,0}$ において、Kähler計量 $\omega_k = ne^{12} + me^{34} + m\frac{y_1y_3}{x_1^2 + y_3^2}(e^{14} - e^{23}) - m\frac{y_1x_1}{x_1^2 + y_3^2}(e^{13} + e^{24})$ は $n > m\frac{y_1}{x_1^2 + y_3^2}(y_3 - x_1)$ かつ $n,m > 0$ のとき存在する。
• $\mathfrak{d}_{4,2}$ において、Kähler計量 $\omega_k = ne^{12} + me^{34} + m\frac{2u_1}{3x_1}(e^{14} - e^{23})$ は $n > m\frac{4u_1^2}{9x_1^2}$ かつ $m > 0$ のとき有効である。
• $\mathfrak{d}'_{4,\lambda}$ において、Kähler計量 $\omega_k = m\frac{1+q^2}{r^2}e^{12} + me^{34} + m\frac{q}{r}(e^{14} - e^{23})$ は $m > 0$ のとき閉じており正定値である。
• この構成により、[15]における一般化Kähler例が $\mathfrak{d}_{4,\frac{1}{2}}$ Lie代数を用いて回復され、先行研究と整合性があることが確認された。