[論文レビュー] Special Itô maps and an $L^2$ Hodge theory for one forms on path spaces

K. D. Elworthy, Xue-Mei Li|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特殊なイト写像を導入し、双対カマラ・マーティン bundle の $L^2$-切断に閉外部微分 $ar{d}$ を定義することにより、コンパクトなリーマン多様体 $M$ のパス空間 $C_{x_0}M$ における1-形式の $L^2$ ホッジ理論を確立する。主な貢献は、$H^1(C_{x_0}M)$ の任意の $L^2$ コhomology類が、ラプラシアン $ abla^1 = \bar{d}^*\bar{d} + \bar{d}\bar{d}^*$ の核に属する一意な調和代表元を持つというホッジ分解定理の確立であり、$L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*) = \ker \Delta^1 \oplus \overline{\text{Image}\, \bar{d}} \oplus \overline{\text{Image}\, d^{1*}}$ が成り立つ。これは、マリャヴィン計算と確率解析を用いて、パス空間に滑らかな分割関数が存在しないという制約を克服し、有限次元ホッジ理論を無限次元パス空間へ拡張したものである。

ABSTRACT

We prove a Kodaira-Hodge decomposition on differential 1-forms on the space of non-smooth paths over a Riemannian manifold, allowing us to define the corresponding first cohomology group. This uses the Itô map of a Brownian system and damped stochastic parallel translation.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体 $M$ のパス空間 $C_{x_0}M$ における1-形式の $L^2$ ホッジ理論を構築すること。
• 双対カマラ・マーティン bundle $\mathcal{H}^1_\cdot^*$ の $L^2$-切断に閉外部微分 $\bar{d}$ を定義すること。
• ラプラシアン $\Delta^1 = \bar{d}^*\bar{d} + \bar{d}\bar{d}^*$ を用いた $L^2$ 1-形式のホッジ分解を確立すること。
• $H^1(C_{x_0}M)$ の任意の $L^2$ コhomology類が、$\ker \Delta^1$ に属する一意な代表元（調和1-形式）を持つことの証明により、有限次元ホッジ理論を無限次元へ拡張すること。
• 滑らかな分割関数がパス空間に存在しないという制約を、特殊なイト写像と確率解析を用いて克服し、$L^2$-理論を構築すること。

提案手法

• パス空間 $C_{x_0}M$ を、$\sigma(0) = x_0$ を満たす連続的パス $\sigma: [0,T] \to M$ の空間と定義し、$C^\infty$ バナッハ多様体構造を備える。
• 接空間 $T_\sigma C_{x_0}M$ に $\|v\|_\sigma^\infty = \sup_t |v(t)|_{\sigma(t)}$ で与えられる $\sup$-ノルムを導入し、フィンスラー構造を定義する。
• カマラ・マーティン空間 $H^1_\sigma$ を、$v_t = //_t(\sigma) h_t$ を満たすベクトル場 $v$ の空間として定義する。ここで $h_t \in L^2$-ホルダー連続パスで $h_0 = 0$ を満たす。これは $H$-微分可能性のための「許容方向」を形成する。
• カマラ・マーティン bundle の双対 bundle $\mathcal{H}^1_\cdot^*$ を構成し、$L^2$-切断 $L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*)$ を $L^2$ 1-形式の空間とみなす。
• 滑らかなシリンダーベクトル場の標準外部微分の $L^2$-閉包として、滑らかなシリンダーベクトル場の外部微分 $d$ の閉包 $\bar{d}$ を定義する。
• 随伴作用素 $d^*$ とラプラシアン $\Delta^1 = \bar{d}^*\bar{d} + \bar{d}\bar{d}^*$ を $L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*)$ 上に定義し、それが稠密な定義域上で自己随伴であることを証明する。
• ドリーバーの部分積分公式と $\bar{d}$ の閉範囲性を用いて、ホッジ分解 $L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*) = \ker \Delta^1 \oplus \overline{\text{Image}\, \bar{d}} \oplus \overline{\text{Image}\, d^{1*}}$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな分割関数が存在しないにもかかわらず、無限次元パス空間 $C_{x_0}M$ における1-形式の $L^2$ ホッジ理論を構築できるか？
• RQ2 双対カマラ・マーティン bundle $\mathcal{H}^1_\cdot^*$ の $L^2$-切断に定義される外部微分 $\bar{d}$ の正しい定義は何か？また、それが閉作用素であるか？
• RQ3 $L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*)$ 上で定義されるラプラシアン $\Delta^1 = \bar{d}^*\bar{d} + \bar{d}\bar{d}^*$ は、調和、完全、余完全成分へのホッジ分解を許容するか？
• RQ4 $H^1(C_{x_0}M)$ の任意の $L^2$ コhomology類は、$\ker \Delta^1$ に属する一意な調和1-形式によって代表されるか？
• RQ5 特殊なイト写像は、パス空間上の $L^2$-微分形式理論とどのように関係しているか？

主な発見

• 双対カマラ・マーティン bundle $\mathcal{H}^1_\cdot^*$ の $L^2$-切断に定義される外部微分 $\bar{d}$ は、滑らかなシリンダーベクトル場の標準外部微分の $L^2$-閉包として得られる閉作用素である。
• 随伴作用素 $d^*$ は、滑らかなシリンダーベクトル場を含む稠密な定義域上で適切に定義されており、$\bar{d}^*\bar{d} + \bar{d}\bar{d}^*$ は $L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*)$ 上で非負の自己随伴ラプラシアン $\Delta^1$ を定義する。
• $L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*)$ はホッジ分解 $L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*) = \ker \Delta^1 \oplus \overline{\text{Image}\, \bar{d}} \oplus \overline{\text{Image}\, d^{1*}}$ を持ち、各項は直交和である。
• $H^1(C_{x_0}M)$ の任意の $L^2$ コhomology類は、調和1-形式の空間 $\ker \Delta^1$ に属する一意な代表元によって表現される。
• 複体 $L^2(C_{x_0}M; \mathbb{R}) \oplus L^2\Gamma(\mathcal{H}^1_\cdot^*) \oplus L^2\Gamma(\mathcal{H}^2_\cdot^*)$ 上の作用素 $\tilde{d} + \tilde{d}^*$ は自己随伴であり、その平方も自己随伴である。これによりホッジ理論の整合性が確認された。
• 証明は、$\bar{d}$ の閉範囲性と、$\overline{\text{Image}\, \bar{d}}$ と $\overline{\text{Image}\, d^{1*}}$ の直交性に依拠しており、これらは部分積分と $\wedge^2 T\mathcal{I}$ の像上での $\psi$ の消滅を用いて確立された。