[論文レビュー] Special Lagrangians of cohomogeneity one in the resolved conifold

Marianty Ionel, Maung Min-Oo|ArXiv.org|Jun 16, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解消されたコンパクト（resolved conifold）— カラビ＝ヤウ3次元多様体—におけるT²およびSO(3)の対称性を用いて、共絶対次元1の特殊ラグランジュ部分多様体を構成する。解消されたコンパクトは、T²×ℝに漸近する特殊ラグランジュ部分多様体によるfoliationを持つことが証明され、SO(3)に固定された族は位相的にS²×ℝであるが、両者ともコンパクト化の極限における同じ特殊ラグランジュ錐に漸近する。これは、先行研究における歪められたコンパクト（deformed conifold）における結果を模倣するものである。

ABSTRACT

In this paper, which is a natural continuation of our previous paper math.DG/0504557, we describe some special Lagrangians of cohomogeneity one in the resolved conifold. Our main result gives a foliation of the resolved conifold by T^2-invariant special Lagrangians, where the generic leaf is topologically T^2 X R. We also obtain a family of SO(3)-invariant special Lagrangians. These special Lagrangian families in both the deformed and the resolved conifold approach asymptotically the same special Lagrangian cones in the conifold.

研究の動機と目的

• 歪められたコンパクトにおける共絶対次元1の特殊ラグランジュ部分多様体の分類を、解消されたコンパクトへと拡張すること。
• 解消されたコンパクト内におけるT²およびSO(3)作用に対して不変な特殊ラグランジュ部分多様体の明示的族を構成すること。
• これらの特殊ラグランジュ部分多様体の漸近的挙動を分析し、特異なコンパクト化極限における特殊ラグランジュ錐と比較すること。
• 解消されたコンパクト内におけるT²およびSO(3)に固定された族が、歪められたコンパクト内に対応するものと同一の特殊ラグランジュ錐に漸近することを確立すること。

提案手法

• 解消されたコンパクトを、複素射影直線ℂP¹上の標準束の全空間として与えられるカラビ＝ヤウ3次元多様体とみなす。局所座標から得られる全空間形式を用いる。
• SO(3)作用のモーメント写像形式を用いて、零レベル集合内の軌道を特定し、ω|L ≡ 0 となるラグランジュ条件を満たす。
• 局所座標(U, Y, V)における全空間形式の解析と、接ベクトルへの縮約を計算することで、Im(Ω)|L ≡ 0 となる特殊ラグランジュ条件を課す。
• 得られた微分条件 Re(Y²) = c を解き、複素Y平面内に双曲的曲線族を導出し、特殊ラグランジュ葉をパラメータ化する。
• 得られた特殊ラグランジュ部分多様体の位相を解析し、対称性の軌道とパラメータ依存性により、T²×ℝおよびS²×ℝの構造を示す。
• 構成された族の漸近的挙動をコンパクト化における特殊ラグランジュ錐と比較し、同一の極限幾何を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T²およびSO(3)の対称性を用いて、解消されたコンパクト内に共絶対次元1の特殊ラグランジュ部分多様体を構成できるか？
• RQ2 これらの対称性の下で、解消されたコンパクト内における特殊ラグランジュ葉の位相的・幾何的性質は何か？
• RQ3 これらの特殊ラグランジュ部分多様体の漸近的挙動は、歪められたコンパクトおよび特異なコンパクト化極限におけるものとどのように比較できるか？
• RQ4 解消されたコンパクト内におけるSO(3)に固定された特殊ラグランジュ部分多様体は、歪められたコンパクト内に対応するものと同一の特殊ラグランジュ錐に漸近するか？

主な発見

• 解消されたコンパクトは、T²に固定された特殊ラグランジュ部分多様体によるfoliationを持つ。一般に、葉はT²×ℝに微分同相である。
• SO(3)に固定された特殊ラグランジュ部分多様体族が構成され、Re(Y²) = c における実定数cによりパラメータ化され、各々S²×ℝに微分同相である。
• SO(3)に固定された特殊ラグランジュ部分多様体は、先行研究における歪められたコンパクト内におけるSO(3)に固定された族と同一のコンパクト化極限における特殊ラグランジュ錐に漸近する。
• 解消されたコンパクト内におけるT²に固定された特殊ラグランジュ部分多様体は、歪められたコンパクト内に対応するものと同一の錐型特殊ラグランジュ部分多様体に漸近する。
• この構成により、解消されたコンパクト内におけるT²およびSO(3)に固定された族が、コンパクト化極限において同一の極限的錐幾何に漸近することを確認した。
• 特殊ラグランジュ部分多様体は、SO(3)作用の下で|Y|²が保存されることから、零断面（ボルト）S²とは交差しない。