[論文レビュー] Special values of anticyclcotomic Rankin-Selberg L-functions

Ming-Lun Hsieh|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トーリックヒルベルトモジュラー形式における明示的ワルドスペルガー公式を確立し、ヒルベルトモジュラー形式に対するアンチシクロトロピックp進ランキン＝セールバーエル・ファンクションを構成する。これは、楕円の場合の先行研究を一般化したものである。また、CM型およびリーマン数に関する特定の仮定の下で、中央L値がアンチシクロトロピックねじれを伴って0でないことを示している。

ABSTRACT

In this article, we prove an explicit Waldspurger formula for the toric Hilbert modular forms. As an application, we construct a class of anticyclotomic p-adic Rankin-Selberg L-functions for Hilbert modular forms, generalizing the construction of Bertolini, Darmon and Prasanna in the elliptic case. Moreover, building on works of Hida, we give a necessary and sufficient condition when the Iwasawa mu-invariant of this p-adic L-function vanishes and prove a result on the non-vanishing modulo $p$ of central Rankin-Selberg L-values with anticyclotomic twists.

研究の動機と目的

• ベルトリン、ダーモン、プラサナによる楕円の場合の構成を拡張し、ヒルベルトモジュラー形式に対するアンチシクロトロピックp進ランキン＝セールバーエル・ファンクションを構成すること。
• これらのp進L関数のIwasawa μ不変量の消滅に関する必要十分条件を確立すること。
• 特定の局所的リーマン数およびp正規性条件の下で、アンチシクロトロピックねじれを伴う中央ランキン＝セールバーライプのL値がpを法として非消滅することを証明すること。
• ワルドスペルガーの公式をトーリックヒルベルトモジュラー形式の設定に一般化すること。

提案手法

• 周期積分とp進補間を用いて、ヒルベルトモジュラー形式のトーリック周期に対する明示的ワルドスペルガー公式を導出する。
• アンチシクロトロピックねじれを伴うランキン＝セールバープロダクトの中央L値のp進補間を通じてp進L関数を構成する。
• Hidaのp進族および通常の自動形式の理論を応用し、構成されたp進L関数のμ不変量を分析する。
• 局所的リーマン数の仮定とp正規性条件を用いて、p進L関数が適切に定義され、そのμ不変量が良好に制御されることを保証する。
• ガロア理論的議論とヘッケ固有値の合同関係を用いて、トーリック周期のpを法とする非消滅を検証する。
• CM型の同定およびアンチシクロトロピックZ_p^{[F:Q]}-拡大の構造を用いて、p進L関数を定義し、そのIwasawa不変量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトモジュラー形式のアンチシクロトロピックp進ランキン＝セールバーエル・ファンクションのIwasawa μ不変量が、どのような条件下で消えるか。
• RQ2 トーリックヒルベルトモジュラー形式に対して、明示的ワルドスペルガー公式をどのように確立できるか。
• RQ3 アンチシクロトロピック設定下で、ねじれを伴う中央L値とトーリック周期積分の間の正確な関係は何か。
• RQ4 与えられた仮定の下で、アンチシクロトロピックねじれを伴う中央L値が、いつpを法として非消滅するか。
• RQ5 CM型におけるp正規性条件が、p進L関数の構成および性質にどのように影響するか。

主な発見

• 本稿では、特定の局所的p進L不変量の消滅に基づいて、構成されたアンチシクロトロピックp進L関数のIwasawa μ不変量の消滅に関する必要十分条件を証明している。
• トーリックヒルベルトモジュラー形式に対して明示的ワルドスペルガー公式が確立され、自動形式のp進補間を通じて中央L値とトーリック周期積分が関連づけられている。
• 構成されたp進L関数は、アンチシクロトロピックヘッケキャラクターでねじれたランキン＝セールバーライプの中央値を補間しており、楕円の場合の一般化としてヒルベルトモジュラー形式に拡張されている。
• 導出された仮定のもとで、すべてのヘッケキャラクターのほとんどにおいて、アンチシクロトロピックねじれを伴う中央L値がpを法として非消滅することが示されている。
• p正規性仮定のもとで、p進L関数が適切に定義され、p進解析的関数としての性質を有することが示されており、アンチシクロトロピック塔上に一意なp進測度が存在することが保証されている。
• pを法とする非消滅の証明は、ヘッケ代数の最大イデアルを法とする合同関係を用いて、ヘッケ固有値に関するガロア理論的条件（H′）を検証することに依拠している。