[論文レビュー] Spectacle cycles with coefficients and modular forms of half-integral weight

Jens Funke, John J. Millson|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非自明な係数を持つキャップ付きモジュラー記号である「スパクルサイクル」を導入し、カスプ形式から任意のモジュラー形式（エイゼンスタイン級数を含む）へとシンタニ上昇を拡張する。また、非コンパクトな設定において、Kudla-Millson双対性を新しい単体的ホモロジー理論と併用して一般化し、これらのサイクル上のコhomological周期の生成関数が、半整数重のモジュラー形式であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we present a geometric way to extend the Shintani lift from even weight cusp forms for congruence subgroups to arbitrary modular forms, in particular Eisenstein series. This is part of our efforts to extend in the noncompact situation the results of Kudla-Millson and Funke-Millson relating Fourier coefficients of (Siegel) modular forms with intersection numbers of cycles (with coefficients) on orthogonal locally symmetric spaces. In the present paper, the cycles in question are the classical modular symbols with nontrivial coefficients. We introduce "capped" modular symbols with coefficients which we call "spectacle cycles" and show that the generating series of cohomological periods of any modular form over the spectacle cycles is a modular form of half-integral weight. In the last section of the paper we develop a new simplicial homology theory with local coefficients (that are not locally constant) that allows us to extend the above results to orbifold quotients of the upper half plane.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな設定において、カスプ形式から任意のモジュラー形式（エイゼンスタイン級数を含む）へとシンタニ上昇を拡張すること。
• 境界の寄与を捉える相対的サイクルを用いて、コhomology群に拡張されたKudla-Millsonシータ上昇を一般化すること。
• 上半平面の軌道商を扱うために、非局所定数でない局所係数を持つ単体的ホモロジー理論を構築すること。
• キャップ付きサイクルとシータ級数における補正項を用いて、ヒルツェブルーフ＝ザギヤー結果の幾何的解釈を提供すること。
• スペクタクルサイクル上のコhomological周期の生成関数が、半整数重のモジュラー形式となることを確立すること。

提案手法

• 対称冪局所系 $\widetilde{E_{2k}}$ に値をとるキャップ付きモジュラー記号としての「スペクタクルサイクル」を導入する。
• $\overline{X}$ 上の境界 $\partial\overline{X}$ を持つ、マッピングコーン de Rham複体を構成し、非自明な係数を持つ相対コhomologyをモデル化する。
• 形式 $\alpha$ が $a - d(f\tilde{b}) = \alpha + d\mu$ を満たすように、コンパクトなコhomology $H^i_c(X,E)$ におけるコhomology類 $[a,b]$ を定義する。
• $\partial\overline{X}$ のコラール近傍上で定義されたリトラクション写像 $f$ を用い、形式を拡張し、$f\tilde{b}$ を補正項として定義する。
• 写像 $F(a,b) = [a,b]$ を通じて、$\overline{F}: H^\bullet(C) \to H^\bullet_c(X,E)$ が同型であることを確立し、コhomologyと整合することを示す。
• 積分公式 $\int_{\overline{X}} \eta \wedge \alpha = \int_{\overline{X}} \eta \wedge a - \int_{\partial\overline{X}} i^*\eta \wedge b$ を用いて、クロネッカー双対性の積分表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな場合において、シンタニ上昇をカスプ形式から任意のモジュラー形式（エイゼンスタイン級数を含む）へと拡張することは可能か？
• RQ2 境界寄与を含むコhomology群に一般化されたKudla-Millsonシータ上昇は、どのように実現できるか？
• RQ3 非局所定数の局所係数が、サイクルおよびそのコhomological周期の定義において果たす役割は何か？
• RQ4 非自明な局所係数を持つ単体的ホモロジー理論は、どのようにして軌道商の扱いに応用できるか？
• RQ5 キャップ付きモジュラー記号上の周期の生成関数が、半整数重のモジュラー形式であることを示せるか？

主な発見

• スペクタクルサイクル上のコhomological周期の生成関数は、$S_{k+3/2}(\Gamma') \otimes H^1(X, \widetilde{E_{2k}})$ 内の半整数重のモジュラー形式である。
• $F: (a,b) \mapsto [a,b]$ が同型 $\overline{F}: H^\bullet(C) \to H^\bullet_c(X,E)$ を誘導し、コhomological双対性を確立する。
• 積分公式 $\langle[\eta],[a,b]\rangle = \int_{\overline{X}} \eta \wedge a - \int_{\partial\overline{X}} i^*\eta \wedge b$ は、クロネッカー双対性の幾何的ペアリングを提供する。
• 相対サイクル $C_n$ をキャップして絶対サイクル $C_n^c$ を得ることで、境界寄与を含む完全なコhomologyへのシータ上昇の拡張が可能になる。
• この方法により、ヒルツェブルーフ＝ザギヤー結果が、2つの非正則モジュラー形式の差として回復され、今やマッピングコーン複体を介した位相的解釈が得られる。
• 非局所定数係数を伴う新しい単体的ホモロジー理論により、上半平面の軌道商への結果の拡張が可能になる。