[論文レビュー] Spectra of Composition Operators with Symbols in S(2)

Paul Bourdon|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、KrieteとMoorhouseによって導入されたクラス $ \mathcal{S}(2) $ に属する記号を持つ、Hardy空間 $ H^2(\mathbb{D}) $ 上の合成作用素のスペクトルおよび本質的スペクトルを特徴づけている。このような作用素がCalkin代数的同値である線形分数的合成作用素の和に還元可能であることを示すことにより、スペクトル記述が得られ、特にラムネ型のスペクトルを含むものであり、Cowenの予想（放物型非自己同型型の記号に対してスペクトルは二重の螺旋の間にあるべき）を反証した。

ABSTRACT

Let H^2(D) denote the classical Hardy space of the open unit disk D in the complex plane. We obtain descriptions of both the spectrum and essential spectrum of composition operators on H^2(D) whose symbols belong to the class S(2) introduced by Kriete and Moorhouse [Trans. Amer. Math. Soc., 359, 2007]. Our work reveals new possibilities for the shapes of composition-operator spectra, settling a conjecture of Cowen's [J. Operator Th. 9, 1983]. Our results depend on a number of lemmas, perhaps of independent interest, that provide spectral characterizations of sums of elements of a unital algebra over a field when certain pairwise products of the summands are zero.

研究の動機と目的

• $ H^2(\mathbb{D}) $ 上の記号が $ \mathcal{S}(2) $ に属する合成作用素のスペクトルおよび本質的スペクトルを特徴づけること。
• Cowen（1983年）の予想、すなわち放物型非自己同型型の記号に対する合成作用素のスペクトルは二重の螺旋の間にあるべきである、という予想を解明すること。
• Calkin代数的同値性を活用して、線形分数的記号を超える合成作用素のスペクトル理論を拡張すること。
• 対称的積分のペアワイズ積が消える代数的要素の和に適用可能な一般スペクトル補題を確立すること。

提案手法

• Calkin代数を用いて、$ \varphi \in \mathcal{S}(2) $ に対する $ C_\varphi $ のスペクトル解析を、線形分数的合成作用素の和に還元すること。
• 特定のペアワイズ積が消える代数的要素の和に対するスペクトル補題を適用し、その和のスペクトルを特徴づけること。
• 本質的スペクトルが円板または線分であるような線形分数的合成作用素に関する既知のスペクトル結果を活用すること。
• 境界点におけるDenjoy-Wolff点、角速度微分、および2次接触の関数論的性質を用いて、$ \mathcal{S}(2) $ に属する記号を分類すること。
• 周期的周期および境界点における微分を計算し、スペクトル半径およびスペクトル集合を特定すること。
• スペクトルの不変性および固有値の分離に関する先行研究（例：[4]）の結果を応用して、スペクトルと本質的スペクトルが等しいことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号 $ \varphi \in \mathcal{S}(2) $ における放物型非自己同型型の合成作用素のスペクトルは、Cowenが予想したように二重の螺旋の間にあるのか？
• RQ2 Calkin代数的同値性により線形分数的作用素の和に還元可能なことを利用して、$ \varphi \in \mathcal{S}(2) $ に対する $ C_\varphi $ のスペクトルおよび本質的スペクトルを完全に特徴づけられるか？
• RQ3 $ \varphi $ が満たす関数論的条件は何か、そのとき $ C_\varphi $ のスペクトルと本質的スペクトルが一致するか？
• RQ4 $ \varphi \in \mathcal{S}(2) $ に対して、$ C_\varphi $ の本質的スペクトルは、$ \varphi $ の境界周期およびDenjoy-Wolff点における挙動によって決定されるか？
• RQ5 ペアワイズ積がゼロである代数的要素の和に対するスペクトル補題を、合成作用素理論におけるスペクトル構造の導出に応用できるか？

主な発見

• 記号 $ \varphi_{lp}(z) = \frac{2z^2 - z - 2}{2z^2 - 3} $ を持つ合成作用素 $ C_{\varphi_{lp}} $ のスペクトルは、閉円板 $ \{ z : |z| \leq \frac{1}{3} \} $ と線分 $ [0,1] $ の和集合であり、ラムネ型の形状をとる。
• このラムネ型スペクトルは、Cowenの予想（このようなスペクトルは二重の螺旋の間にあるべき）を反証しており、したがってその予想は否定される。
• $ \varphi \in \mathcal{S}(2) $ でDenjoy-Wolff点が $ \mathbb{D} $ 内にある場合、スペクトルと本質的スペクトルは一致する。これは、本質的スペクトルの外側に孤立した固有値が存在できないためである。
• $ C_\varphi $ の本質的スペクトルは、$ \varphi $ の $ E(\varphi) $ 内の周期的周期における微分によって決定され、固定点 $ \zeta $ に対して $ \sqrt{\varphi^{[n]'}(\zeta)} $ から導かれる半径を持つ。
• $ \varphi(z) = \frac{-z}{3 - 2z^2} $ の場合、スペクトルは $ \{ z : |z| < \frac{1}{\sqrt{5}} \} \cup \{1\} $ であり、本質的スペクトルは半径 $ 1/\sqrt{5} $ の開円板に等しい。
• 閉円板上で正則でない記号 $ \varphi $ で $ E(\varphi) = \{-1,1\} $ を満たす場合、スペクトルおよび本質的スペクトルはともに $ \{ z : |z| \leq \sqrt{2} \} $ に等しく、この方法が滑らかでない記号に対しても適用可能であることを示している。