[論文レビュー] Spectra of some composition operators and associated weighted composition operators

Paul Bourdon|ArXiv.org|Aug 10, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、ハーディー空間 $H^2(\mathbb{U})$ 上での本質的に線型分数的自己写像によって誘導される合成作用素のスペクトルおよび本質的スペクトルを特徴づけ、放物型非自己同型および双曲型タイプの場合に、スペクトルと本質的スペクトルが一致することを示している。さらに、このような記号を持つ特定の重み付き合成作用素に対し、スペクトルが本質的スペクトルに等しくなることを確立し、既知の結果を非一対一および非正則な記号へと拡張している。

ABSTRACT

We characterize the spectrum and essential spectrum of "essentially linear fractional" composition operators acting on the Hardy space H-two of the open unit disc U. When the symbols of these composition operators have Denjoy-Wolff point on the unit circle, the spectrum and essential spectrum coincide. Our work permits us to describe the spectrum and essential spectrum of certain associated weighted composition operators on the Hardy space.

研究の動機と目的

• 本質的に線型分数的写像 $\varphi$ に対して、$H^2(\mathbb{U})$ 上の合成作用素 $C_\varphi$ のスペクトルおよび本質的スペクトルを特徴づけること。
• 双曲型および放物型タイプの合成作用素に対して、スペクトルと本質的スペクトルが一致するかどうかという未解決の問題を解明すること。
• 有界な正則関数 $g$ と本質的に線型分数的写像 $\varphi$ を持つ重み付き合成作用素 $C_{g,\varphi}$ に対して、スペクトル特徴づけを拡張すること。
• 拡大型作用素におけるスペクトル円板が、一対一性や境界における正則性がなくても、本質的スペクトルに完全に含まれるかどうかを特定すること。

提案手法

• 本質的に線型分数的写像が線型分数的写像からコンパクト作用素の差異を示すという事実を用い、後者に対する既知のスペクトル結果を活用する。
• Denjoy-Wolff定理および $\varphi$ の反復作用素を用いて、特に境界固定点における挙動に注目してスペクトル挙動を分析する。
• シュワーツ微分およびコンformal共役性を用い、M\
• adjoint作用素 $C_{g,\varphi}$ の冪の循環性を用いて、非本質的スペクトル点が孤立していると仮定すると矛盾が生じることを示し、それによりその孤立性を否定する。
• 関数計算および固有関数解析を用い、スパイラル集合の外側の固有値は非孤立でなければならないことを示す。ここで、一価パラメータ族 $h_t(z) = e^{-t\nu \circ T(z)}$ を用いる。
• スペクトル点が本質的スペクトルの外にあると仮定すると、非孤立な固有値が生じることを示し、これにより矛盾が生じることを示すことにより、$\text{Sp}(C_{g,\varphi}) = \text{Sp}_e(C_{g,\varphi})$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 本質的に線型分数的写像による合成作用素が双曲型または放物型非自己同型タイプである場合、スペクトルと本質的スペクトルは常に一致するか？
• RQ2 一対一性や閉円板上での正則性が保証されない本質的に線型分数的写像を有する拡大型合成作用素に対して、スペクトル円板のすべての点が本質的スペクトルに含まれるか？
• RQ3 $g$ および $\varphi$ にどのような条件下で、重み付き合成作用素 $C_{g,\varphi}$ のスペクトルが本質的スペクトルに等しくなるか？
• RQ4 境界固定点においてのみ水平円に漸近する写像に対して、本質的に線型分数的写像のスペクトル結果を一般化できるか？
• RQ5 双曲型または放物型自己同型タイプの写像に対して、$C_\varphi$ の圧縮スペクトルは高々 $\{0\}$ か？

主な発見

• 本質的に線型分数的写像が放物型非自己同型タイプである場合、スペクトルと本質的スペクトルは一致し、その値は $\{e^{-at}: t \geq 0\}$ に等しい。ここで $a = \varphi''(\eta)$ であり、$\eta$ は Denjoy-Wolff 点である。
• 双曲型タイプの本質的に線型分数的写像に対しては、スペクトルは原点を中心とする閉円板であり、その半径は本質的スペクトル半径に等しく、この円板のすべての点が本質的スペクトルに属する。
• 関数 $g$ が $\overline{\mathbb{U}}$ 上で正則で、$\varphi$ が双曲型タイプの本質的に線型分数的写像であり、$g(\eta) \neq 0$ であるとき、重み付き合成作用素 $C_{g,\varphi}$ のスペクトルと本質的スペクトルは一致する。
• $\varphi$ が放物型非自己同型タイプであり、$\text{Re}(\overline{\varphi''(1)}(\mathcal{S}\varphi)(1)) \geq 0$ を満たすとき、$C_{g,\varphi}$ のスペクトルは $\{2ie^{-2t-it}: t \geq 0\} \cup \{0\}$ に等しく、この集合は本質的スペクトルに一致する。
• このような作用素に対して、スペクトル半径 $r(C_{g,\varphi})$ は本質的スペクトル半径 $r_e(C_{g,\varphi})$ に等しく、したがってスペクトル円板が本質的スペクトルに完全に含まれることを示唆する。
• 本質的スペクトルの外にある $C_{g,\varphi}$ のスペクトル点が孤立していることは不可能である。なぜなら、そのような固有値が存在すると、連続的な固有関数族が生成され、孤立性に矛盾するからである。