[論文レビュー] Spectral accuracy for the Hahn polynomials

René Goertz, Philipp Öffner|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双曲型保存則に対するスペクトル法の文脈において、ハーン多項式のスペクトル的精度を確立する。離散直交多項式射影を用いることで、著者らは滑らかな関数に対してハーン多項式展開がスペクトル収束を達成することを示し、代替ノード分布および再構成技術によりルンゲ現象を緩和する。

ABSTRACT

We consider in this paper the Hahn polynomials and their application in numerical methods. The Hahn polynomials are classical discrete orthogonal polynomials. We analyse the behaviour of these polynomials in the context of spectral approximation of partial differential equations. We study series expansions $u=\sum_{n=0}^\infty \hat{u}_n ϕ_n$, where the $ϕ_n$ are the Hahn polynomials. We examine the Hahn coefficients and proof spectral accuracy in some sense. We substantiate our results by numericals tests. Furthermore we discuss a problem which arise by using the Hahn polynomials in the approximation of a function $u$, which is linked to the Runge phenomenon. We suggest two approaches to avoid this problem. These will also be the motivation and the outlook of further research in the application of discrete orthogonal polynomials in a spectral method for the numerical solution of hyperbolic conservation laws.

研究の動機と目的

• 滑らかな関数の近似において、ハーン多項式展開のスペクトル収束を確立すること。
• 等間隔グリッド上でのハーン多項式補間におけるルンゲ現象を解消すること。
• 近似の安定性を向上させるための代替ノード分布および再構成戦略を提案すること。
• フラックス再構成（FR）や補正手順による再構成（CPR）のような高次法への離散直交多項式の応用の基盤を築くこと。

提案手法

• 超幾何関数を用いて定義されるハーン多項式 $ \varphi_n(x;\alpha,\beta,N) = {}_3F_2(-n, n+\alpha+\beta+1, -x; \alpha+1, -N; 1) $ を基底関数として用い、スペクトル展開 $ u = \sum_{n=0}^\infty \hat{u}_n \varphi_n $ を実施する。
• 連続直交多項式法で一般的なガウス積分誤差を回避するため、係数を和分により正確に計算する離散内積を適用する。
• 離散スカラー積を用いた射影に基づくアプローチにより、係数 $ \hat{u}_n(t) = \frac{1}{\|\varphi_n\|^2} \sum_{x \in \Omega} h(x) u(x,t) \varphi_n(x) $ を計算し、係数計算の正確性を保証する。
• バナデルモンド行列を用いた補間 $ u(x_j,t) = \mathcal{V}(\hat{u}_n(t)) $ を検討し、条件数およびノード選択に注目する。
• ルンゲ現象を緩和するため、非等間隔ノード（例：チェビシェフ型）を用いることを提案する。
• ゲーゲンバウアー再構成技術を活用してギブス型の振動を低減し、再構成次数 $ m $ と截断次数 $ N $ の比を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲型保存則の文脈において、ハーン多項式は滑らかな関数の近似でスペクトル的精度を達成できるか？
• RQ2 等間隔グリッド上でのハーン多項式近似にルンゲ現象が及ぼす影響は何か。また、これを緩和できるか？
• RQ3 関数 $ u $ やパラメータ $ \alpha, \beta $ にどのような条件が課されると、截断ハーン級数が安定的かつ正確に保たれるか？
• RQ4 ゲーゲンバウアー型再構成において、再構成次数 $ m $ と截断次数 $ N $ の比が、総近似誤差にどのように影響するか？
• RQ5 離散直交多項式は、非構造格子用の三角形メッシュへ拡張可能か？

主な発見

• 解析関数に対してはハーン多項式展開がスペクトル収束を達成し、係数が $ n $ の任意のべきよりも速く減少することから、スペクトル的精度が確認された。
• 数値実験では、$ m=10 $ の截断ハーン級数が、特に $ \alpha=\beta=0 $ の場合に顕著な点ごとの誤差および振動を示し、ルンゲ現象の存在を示した。
• パラメータ $ \alpha, \beta $ の選択が近似品質に顕著な影響を与え、テスト事例では $ (5,0) $ が $ (0,0) $ や $ (0.5,0.5) $ よりも優れた収束を示した。
• 等間隔グリッド上での補間は、悪条件のバナデルモンド行列と不安定性を引き起こし、ルンゲ現象の影響を確認した。
• チェビシェフ型ノードや代替ノード分布を用いることで、等間隔グリッドに比べて安定性が向上し、点ごとの誤差が低減された。
• 制御された $ m/N $ の比を用いてゲーゲンバウアー再構成を適用した場合、振動が低減され収束が改善されたが、$ m $ と $ N $ が速く増加する場合には収束が失敗する可能性があった。