[論文レビュー] Spectral Analysis of High-dimensional Time Series

Mark Fiecas, Chenlei Leng+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2018

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高次元時系列におけるスペクトル密度行列推定のための最初の非漸近的理論的枠組みを確立し、平滑化周期図とスパース精度行列推定法の正当化を可能にする。関数的依存性仮定の下で固定標本誤差境界を導出し、高次元周波数ドメイン推論の収束速度を証明した。Google Flu Trendsデータへの応用を含む。

ABSTRACT

A useful approach for analysing multiple time series is via characterising their spectral density matrix as the frequency domain analog of the covariance matrix. When the dimension of the time series is large compared to their length, regularisation based methods can overcome the curse of dimensionality, but the existing ones lack theoretical justification. This paper develops the first non-asymptotic result for characterising the difference between the sample and population versions of the spectral density matrix, allowing one to justify a range of high-dimensional models for analysing time series. As a concrete example, we apply this result to establish the convergence of the smoothed periodogram estimators and sparse estimators of the inverse of spectral density matrices, namely precision matrices. These results, novel in the frequency domain time series analysis, are corroborated by simulations and an analysis of the Google Flu Trends data.

研究の動機と目的

• 高次元周波数ドメイン時系列解析における理論的ギャップ、特にスペクトル密度行列推定に関して埋める。
• 漸近的近似に依存しない固定標本誤差境界を、平滑化周期図推定法に対して開発する。
• 周波数ドメインにおけるCLIMEを用いたスパース精度行列推定法に対する理論的裏付けを提供する。
• 関数的依存構造の下で、高次元スペクトル推定法の収束速度を確立する。
• シミュレーションおよびGoogle Flu Trendsデータの実世界分析を通じて理論的結果を検証する。

提案手法

• 高次元時系列をi.i.d. 残差関数としてモデル化するため、関数的依存性フレームワーク（Wu, 2005）を採用する。
• マーティングールドおよびモーメントバウンドを用いて、平滑化周期図行列の非漸近的集中不等式を導出する。
• 周波数点および行列成分における和集合バウンドを用いて、スペクトル推定法のsup-ノルム偏差を制御する。
• 周波数ドメインにおけるスパース逆スペクトル密度行列推定にCLIME法（Cai et al., 2011）を適用する。
• 帯域幅 $ M_n $ を用いて、推定スペクトル密度行列の誤差バウンドを $ M_n/n $ および $ (n/M_n)^{1/2 + \delta} $ の形で確立する。
• 依存性を分離し、集中不等式の適用を可能にする修正推定法 $ \widetilde{f}_{ij,n}(\omega) $ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元スペクトル密度行列の平滑化周期図推定法に対して、非漸近的誤差境界を確立できるか？
• RQ2 周波数ドメインにおけるスパース精度行列推定法に対して、どのような理論的保証が得られるか？
• RQ3 スペクトル推定法の収束速度は、標本サイズ $ n $、次元 $ p $、帯域幅 $ M_n $ にどのように依存するか？
• RQ4 関数的依存性フレームワークを用いて、高次元時系列における固定標本結果を導出できるか？
• RQ5 スパarsity仮定の下で、推定逆スペクトル密度行列の収束速度はいかほどか？

主な発見

• 本稿は非漸近的バウンドを確立した：$ \mathbb{P}\left(\sup_{\omega} \|\widehat{\Sigma}(\omega) - \Sigma(\omega)\|_{\infty} > C(M_n/n + (n/M_n)^{1/2 + \delta}n^{-1/2}) \right) \leq p^2 n^{-H} $、任意の $ \delta > 0 $、$ H > 0 $ に対して有効。
• 平滑化周期図推定法の収束速度は、高確率で $ O(M_n/n + (n/M_n)^{1/2 + \delta}n^{-1/2}) $ である。
• CLIMEを用いたスパース精度行列推定において、推定逆スペクトル行列の $ \ell_1 $-誤差は $ O(t_n^{1-q}) $ で有界であり、ここで $ t_n = M_{n,p} \lambda $ かつ $ \lambda \asymp M_n/n + n^{\delta}/M_n^{1/2 + \delta} $ である。
• 理論的結果は、高次元設定下での一貫性のある推定を示すシミュレーションにより裏付けられた。
• Google Flu Trendsデータの実データ解析により、本手法が高次元時系列における意味のある周波数ドメイン依存性を回復できることを確認した。
• 本稿は、$ \mathbb{P}(\mathcal{A}_n) \to 1 $ であることを証明した。ここで $ \mathcal{A}_n $ は推定スペクトル行列と真の行列との偏差を制御する事象である。