[論文レビュー] Spectral and asymptotic properties of Grover walks on crystal lattice

Yusuke Higuchi, Norio Konno+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限アーベル被覆グラフである結晶格子上のグローバー散乱のスペクトル的および漸近的性質を分析するため、ねじれSzegedy散乱を導入する。スペクトル写像定理を用いて、散乱のスペクトルを商グラフ上のねじれランダムウォークに関連づけることで、商グラフのベッチ数が1より大きい場合に局在化が発生することを証明し、$ \mathbb{Z}^d$ 上のグローバー散乱の極限密度関数を導出。その結果、半径$1/\sqrt{d}$の球面上に$2^d$個の特異点を有する線形拡散と局在化の共存が示された。主たる貢献は、量子散乱の挙動とグラフ位相の関係を確立するスペクトル理論的枠組みの構築である。

ABSTRACT

We propose a twisted Szegedy walk for estimating the limit behavior of a discrete-time quantum walk on a crystal lattice, an infinite abelian covering graph, whose notion was introduced by [14]. First, we show that the spectrum of the twisted Szegedy walk on the quotient graph can be expressed by mapping the spectrum of a twisted random walk onto the unit circle. Secondly, we show that the spatial Fourier transform of the twisted Szegedy walk on a finite graph with appropriate parameters becomes the Grover walk on its infinite abelian covering graph. Finally, as an application, we show that if the Betti number of the quotient graph is strictly greater than one, then localization is ensured with some appropriated initial state. We also compute the limit density function for the Grover walk on $\mathbb{Z}^d$ with flip flop shift, which implies the coexistence of linear spreading and localization. We partially obtain the abstractive shape of the limit density function: the support is within the $d$-dimensional sphere of radius $1/\sqrt{d}$, and $2^d$ singular points reside on the sphere's surface.

研究の動機と目的

• 結晶格子上の離散時間量子散乱を分析するため、ねじれSzegedy散乱の枠組みを構築すること。
• ねじれSzegedy散乱と商グラフ上のねじれランダムウォークを結ぶスペクトル写像定理を確立すること。
• 閉路からのホモロジー的構造を用いて、グローバー散乱のスペクトル分解を特徴づけること。
• $\mathbb{Z}^d$上でのグローバー散乱における線形拡散と局在化の共存を調査すること。
• $\mathbb{Z}^d$上でのグローバー散乱の極限密度関数の形状と台を導出すること。

提案手法

• $D$をグラフ$G=(V,D)$の弧の集合とする$\ell^2(D)$上に、位相のねじれを伴うユニタリ発展を用いて、ねじれSzegedy散乱を導入する。
• 境界作用素$d_A, d_B: \ell^2(D) \to \ell^2(V)$およびその随伴作用素を定義し、ヒルベルト空間を継承部分$\mathcal{L}$と直交補空間$\mathcal{L}^\perp$に分解する。
• $\mathcal{L}$がねじれSzegedy散乱に対して不変であり、$\ell^2(V)$上のねじれランダムウォークから導かれる固有値に対応することを示す。
• $\mathcal{L}^\perp = \ker(d_A) \cap \ker(d_B)$であることを証明し、これはグラフ内の閉路の空間と同型であることを示し、ホモロジー的構造を明らかにする。
• 空間的フーリエ変換を用いて、有限グラフ上のねじれSzegedy散乱とその無限アーベル被覆グラフ上のグローバー散乱を関連付ける。
• スペクトル写像定理を適用して極限密度関数を計算し、$\mathbb{Z}^d$上でのその台と特異点を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結晶格子上のグローバー散乱のスペクトルは、その商グラフ上のねじれランダムウォークのスペクトルとどのように関係するか？
• RQ2 商グラフのどのような位相的条件下で、グローバー散乱において局在化が発生するか？
• RQ3 $\mathbb{Z}^d$上でのグローバー散乱の極限密度関数の漸近的形状は何か？
• RQ4 $\mathbb{Z}^d$上でのグローバー散乱において、線形拡散と局在化はどのように共存するか？
• RQ5 商グラフのベッチ数は、散乱のスペクトル的および漸近的挙動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 適切に選ばれた初期状態のもとで、商グラフのベッチ数が1より大きい場合、グローバー散乱における局在化が保証される。
• $\mathbb{Z}^d$上でのグローバー散乱の極限密度関数の台は、半径$1/\sqrt{d}$の$d$次元球体内に含まれる。
• 極限密度関数は、半径$1/\sqrt{d}$の$d$次元球面の表面に$2^d$個の特異点を有する。
• 元のランダムウォークの絶対連続スペクトル部分が、量子散乱における線形拡散を引き起こす。
• 次元$d=2$の場合、極限密度関数が明示的に$\rho_2(x,y) = \frac{4}{\pi^2 \cos^2 2\gamma}$として与えられ、角度パラメータ$\gamma$に依存し、円周上に特異点があることが確認される。
• スペクトル写像定理により、ねじれランダムウォークの固有値とねじれSzegedy散乱の固有値の実部の間に直接的な対応関係が確立される。