[論文レビュー] Spectral Asymmetry, Zeta Functions and the Noncommutative Residue

Raphaël Ponge|ArXiv.org|Oct 8, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の奇クラス楕円型擬微分作用素に対して、Wodzickiのゼータ関数アプローチを精緻化し、特定の位相的および順序的条件の下で、整数点におけるゼータ関数値がスペクトルカットティングに依存しない局所的独立性を確立する。主な貢献は、ディラック作用素のスペクトル非対称性に対する幾何的表現を提示し、重力におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用素の新しいスペクトル的解釈をもたらす。

ABSTRACT

In this paper we study the spectral asymmetry of (possibly nonselfadjoint) elliptic PsiDO's in terms of the difference of zeta functions coming from different cuttings. Refining previous formulas of Wodzicki in the case of odd class elliptic PsiDO's, our main results have several consequence concerning the local independence with respect to the cutting, the regularity at integer points of eta functions and a geometric expression for the spectral asymmetry of Dirac operators which, in particular, yields a new spectral interpretation of the Einstein-Hilbert action in gravity.

研究の動機と目的

• 非自己共役楕円型擬微分作用素のスペクトル非対称性を、異なるスペクトルカットティングを持つゼータ関数を用いて調査すること。
• 奇クラス楕円型ΨDOの状況において、Wodzickiのゼータ関数差の公式を精緻化すること。
• 特定の幾何的および順序的条件の下で、整数点におけるゼータ関数値がスペクトルカットティングに依存しない局所的独立性を確立すること。
• ディラック作用素のスペクトル非対称性に対する幾何的表現を提示し、重力におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用素と結びつけること。
• 奇クラス作用素に対して、ゼータ関数の正則性および独立性の性質を、局所的レベル（点ごとの密度）にまで拡張すること。

提案手法

• 異なるスペクトルカットティング $ L_{\theta} $ と $ L_{\theta'} $ に関連するゼータ関数の差を用いて、スペクトル非対称性を分析する。
• 領域 $ \theta < \arg \lambda < \theta' $ におけるコーシー積分を用いて定義されるWodzickiのセクタープロジェクション $ \tilde{\theta},\theta' (P) $ を用い、スペクトル成分を分離する。
• 非可換トレース $ \operatorname{Res} $ を用いて、ゼータ関数差の留数をセクタープロジェクションのトレースと関連付ける。
• セクタープロジェクション $ \Pi_{\theta,\theta'}(P) $ の記号を分析し、ゼータ関数の局所的性質を導出する。
• ダンフォード＝シュワーツのスペクトル理論およびシャッテンクラスの性質を含む関数解析の結果を応用し、根ベクトルの完全性を確立する。
• 局所的ゼータ関数 $ \zeta_{\theta}(P;0)(x) $ を密度として導出し、その積分がグローバルなゼータ関数を与えるようにする。これにより、点ごとの解析が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数点におけるゼータ関数 $ \zeta_{\theta}(P;s) $ の正則値が、スペクトルカットティング $ L_{\theta} $ に依存しないのはどのような条件下か？
• RQ2 奇クラス楕円型ΨDOのスペクトル非対称性は、非可換トレースおよびゼータ関数差とどのように関係するか？
• RQ3 ディラック作用素のスペクトル非対称性は、非可換トレースを用いて幾何的に表現可能か？
• RQ4 奇クラス作用素に対して、$ \zeta_{\theta}(P;s) $ が整数点で正則であるための条件は何か？
• RQ5 奇クラス作用素に対して、局所的ゼータ関数密度 $ \zeta_{\theta}(P;0)(x) $ はスペクトルカットティングに依存しないか？

主な発見

• 次元 $ \dim M $ が奇数で、$ \operatorname{ord} P $ が偶数であるとき、$ \zeta_{\theta}(P;s) $ はすべての整数点で正則であり、その値はスペクトルカットティング $ L_{\theta} $ に依存しない。
• 次元 $ \dim M $ が偶数で、$ \operatorname{ord} P $ が奇数であり、主記号が二つの反対方向の開錐 $ \Lambda_{\theta,\theta'} \cup \Lambda_{\theta+\pi,\theta'+\pi} $ の和集合に属するとき、差 $ \zeta_{\theta}(P;s) - \zeta_{\theta'}(P;s) $ は任意の整数 $ k $ に対して $ \operatorname{ord} P \cdot \lim_{s \to k} (\zeta_{\theta}(P;s) - \zeta_{\theta'}(P;s)) = i\pi \operatorname{Res} P^{-k} $ を満たす。
• 定理5.1または定理5.2の条件のもとで、各点 $ x \in M $ における局所的ゼータ関数の正則値 $ \zeta_{\theta}(P;0)(x) $ は、スペクトルカットティング $ L_{\theta} $ に依存しない。
• 自己共役奇クラス作用素に対して、セクタープロジェクション $ \Pi_{\theta,\theta'}(P) $ は、スペクトルが領域 $ \theta < \arg \lambda < \theta' $ にある部分空間への正規直交射影である。
• 作用素 $ P $ が正規であるとき、$ \Pi_{\theta,\theta'}(P) $ は、$ \operatorname{Sp} P \cap \Lambda_{\theta,\theta'} $ に属する固有空間のヒルベルト直和 $ \oplus_{\lambda \in \operatorname{Sp} P \cap \Lambda_{\theta,\theta'}} \ker(P - \lambda) $ への射影である。
• ディラック作用素のスペクトル非対称性は、非可換トレースを用いて幾何的に表現され、重力におけるアインシュタイン＝ヒルベルト作用素の新しいスペクトル的解釈が得られる。